2012届高三数学第二轮复习(空间角与距离).doc

空间角与距离
★★★高考考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.
【热点透析】
:
①
②将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
:一猜,二证,,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
:①定义②三垂线定义③垂面法
距离
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直,求点到平面的距离及多面体的体积。
【热点透析】
转化思想:
①;
②异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离,
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
:
①体积法; ②直接法,找出点在平面内的射影
★★★高考将考什么
【范例1】(07北京•理•16题)如图,在中,,,.
(I)求证:平面平面;
(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;
(III)求与平面所成角的最大值.
解法一:
(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
又二面角是直二面角,
,又,
平面,
又平面.
平面平面.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,
.
又. 在中,.
异面直线与所成角的大小为.
(III)由(I)知,平面,
是与平面所成的角,且.
当最小时,最大,
这时,,垂足为,,,
与平面所成角的最大值为.
解法二:
(I)同解法一.
(II)建立空间直角坐标系,如图,则,,,,
,,
.
异面直线与所成角的大小为.
(III)同解法一
【范例2】(07福建•理•18题)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,1中点。
(Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小;
分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
解答:解法一:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
A
B
C
D
O
F
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点, , .
在正方形中,, 平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.
,
为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又, .
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由得, .
点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面, 平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
x
z
A
B
C
D
O
F
y
,,.
,, ,. 平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为.
,.
,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面, 为平面的法向量.
,.
二面角的大小为.
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置,它能