2012届高三数学第二轮复习(空间位置关系与证明).doc

空间位置关系与证明
★★高考要考什么
线与线的位置关系:平行、相交、异面;
线与面的位置关系:平行、相交、线在面内;
面与面的位置关系:平行、相交;
:
;
★★★高考将考什么
【范例1】(07天津)如图,在四棱锥中,底面,,,是的中点.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)证明平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(Ⅰ)证明:在四棱锥中,
因底面,平面,故.
,平面.
而平面,.
(Ⅱ)证明:由,,可得.
是的中点,.
由(Ⅰ)知,,且,所以平面.
而平面,.
底面在底面内的射影是,,.
又,综上得平面.
(Ⅲ)解法一:过点作,垂足为,(Ⅱ)知,平面,在平面内的射影是,则.
因此是二面角的平面角.
由已知,,
可得.
在中,,,
则.
在中,.
解法二:由题设底面,平面,则平面平面,交线为.
过点作,垂足为,,垂足为
,连结,.
由已知,可得,设,
可得.
,.
于是,.
在中,.
所以二面角的大小是.
所以二面角的大小是.
M
变式:如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.
(1)证明//平面;
(2)设,证明平面.
证明:(Ⅰ)取CD中点M,连结OM.
在矩形ABCD中,,又,则,
连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE, EM平面CDE, ∴ FO∥平面CDE
(Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,
且.
因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,
∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO. 而,所以EO⊥平面CDF.
A
B
C
D
【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,注意线面平行和线面垂直判定定理的使用,考查空间想象能力和推理论证能力。
【范例2】(07安徽)如图,在六面体中,四边形是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面
,平面,.
(Ⅰ)求证:与共面,与共面.
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).
证明:以为原点,以所在直线分别为轴,
轴,轴建立空间直角坐标系如图,
则有.
(Ⅰ)证明:
.
A
B
C
D
.
与平行,与平行,
于是与共面,与共面.
(Ⅱ)证明:,
,
,.
与是平面内的两条相交直线.
平面.
又平面过.
平面平面.
(Ⅲ)解:.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
.
二面角的大小为.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:平面,平面.
A
B
C
D
,,平面平面.
于是,.
设分别为的中点,连结,
有.
,
于是.
由,得,
故,与共面.
过点作平面于点,
则,连结,
于是,,.
,.
,.
所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:平面,,
又(正方形的对角线互相垂直),
与是平面内的两条相交直线,
平面.
又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,
根据三垂线定理,有.
过点在平面内作于,连结,
则平面,
于是,
所以,是二面角