2007年考研数学三真题及解析.doc

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,,与等价的无穷小量是().设函数在处连续,下列命题错误的是:().若存在,则若存在,,则存在若存在,、下半圆周,在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是:().设函数连续,则二次积分等于()设某商品的需求函数为,其中,分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是()10203040曲线渐近线的条数为()0123(7)设向量组线性无关,则下列向量组线相关的是()(A)(B)(C)(D)(8)设矩阵,则A与B()(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()(10)设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示X,Y的概率密度,则在条件下,的条件概率密度为()(A)(B)(C)(D)二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(11).(12)设函数,则.(13)设是二元可微函数,则________.(14)微分方程满足的特解为__________.(15)设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,、解答题:17-24小题,、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设函数由方程确定,试判断曲线在点(1,1)附近的凹凸性.(18)(本题满分11分)设二元函数计算二重积分其中(19)(本题满分11分)设函数,在上内二阶可导且存在相等的最大值,又=,=,证明:(Ⅰ)存在使得;(Ⅱ)存在使得(20)(本题满分10分)将函数展开成的幂级数,并指出其收敛区间.(22)(本题满分11分),其中E为3阶单位矩阵.(Ⅰ)验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;(Ⅱ)求矩阵B.(23)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的概率密度.(24)(本题满分11分),是来自总体的简单随机样本,是样本均值.(Ⅰ)求参数的矩估计量;(Ⅱ)判断是否为的无偏估计量,(三)真题答案一、选择题BDCBDDABCA二、填空题(11).(12)设函数,则.(13)设是二元可微函数,则.(14)微分方程满足的特解为.(15)设距阵则的秩为__1___.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,、解答题:(17)(本题满分10分)设函数由方程确定,试判断曲线在点(1,1)附近的凹凸性.【详解】:(18)(本题满分11分)设二元函数计算二重积分其中【详解】:积分区域D如图,不难发现D分别关于x轴和y轴对称,设是D在第一象限中的部分,即利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称,从而按二重积分的简化计算法则可得设,其中于是由于,故为计算上的二重积分,,,因而,故令作换元,则,于是且,代入即得