极坐标系与极坐标方程.docx

极坐标系与极坐标方程.docx一、 坐标系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数X确定2^平面直角坐标系在平面上,当収定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定。3、空间直角坐标系在空间中,选择两两垂直JL交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它便空间上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定。二、 平面直角坐标系的伸缩变换定义:设p(X,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 0:r=肚“>0)④的作用下,卜=顾“>0).点P(x,y)对应到点P,(x\yO,称©为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。三、 例题讲解伸缩变换后的图形。(2)x2+y2=l例1在平血直角处标系中,求卞列方程所对应的图形经过(1)2x+3y=0;三、极坐标系1、 极坐标系的建立:在平面上取一个定点0,口点0引一条射线0X,同吋确定一个单位长度和计算角度的匸方向(通常収逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。(其中0称为极点,射线0X称为极轴。) M2、 极坐标系内一点的极坐标的规定 匕/对于平面上任意一点M,用p表示线段0M的长度,用0表示从0X到^0..0M的角度,p叫做点M的极径,e叫做点M的极角,有序数对(P,0)就叫O x做M的极坐标。特别强调:由极径的意义可知p$o;当极角e的取值范围是[0,2龙)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(p,0)建立一一对应的关系•们约定,极点的极坐标是极径P二0,、 负极径的规定在极坐标系屮,极径P允许取负值,极角0也可以去任意的正角或负角当p<0时,点M(p,0)位于极角终边的反向延长线上,且OM=|p|oM(p,0)也可以表示为(/9,0+2Att)或(一p,&+(2鸟+1)龙)(kez)4、数学应用例1写岀下图中各点的极处标A(4,0)B(2 )C( )D( )E( )F( )G( )规定:极点的极坐标是°二0,。可以取任意角。变式训练在极坐标系里描出下列各点ji 4/r 、冗 \兀A(3,0)B(6,2兀)C(3,—)D(5,—)E(3,—)F(4,兀)G(6,——)2 3 6 3例2在极坐标系中,\冗 7T已知两点P(5,—),Q(l,-h求线段PQ的长度;4 47T已知M的极坐标为(p,0)且0=—,peR,说明满足上述条件的点M的位置。变式训练1、若\ABC的的三个顶点为71(5,—),B(8,—),C(3,—),判断三和形的形状2662、若A、B两点的极坐标为(门厨),(/?2,&2MNAB的长以及\AOB的面积。(O为极点)例3已知Q(p,0),分别按下列条件求出点P的极坐标。P是点Q关于极点O的对称点;TTP是点Q关于直线0=-的对称点;2P是点Q关于极轴的对称点。变式训练TT1・在极坐标系中,与点(-&―)关于极点对称的点的一个坐标是()64(8$),〃(8,-芋),C(-8,芋),Q(-8,-?)6666ji 52在极坐标系中,如果等边\ABC的两个顶点是A(2,—)』(2,一),求第三个顶点C的坐标。4 4四、极坐标与直角坐标的互化直角坐标系的原点0为极点,兀轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内