正规子群与商群.ppt

§()前面我们已经看到,一个群G的子群H的左陪集aH与右陪集Ha不一定相等,当aH=Ha时,具有此种特性的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群的性质有十分重要的作用,是非常重要的子群。(不变子群)(NormalSubgroup)定义:设H≤G,a∈G,若aH=Ha,则称H为G的正规子群(不变子群),记做HG。={(1)(123)(132)}是它的正规子群,而子群{(1)(12)}及{(1)(13)},{(1)(23)}都不是它的正规子群。{e}都是G的正规子群。G的不等于G的正规子群称为G的真正规子群。若G≠{e},但G中除G和{e}外无其它正规子群,则称G为单群。。。这是G的一个重要的正规子群,叫做G的中心,记做C(G)C(G)={x|x∈G,xa=ax,a∈G}。。事实上,设H≤G,[G:H]=2,取a∈G\H,则H∩aH=φ,H∩Ha=φ,又G=H∪aH,且G=H∪Ha,由陪集性质得aH=G\H=Ha。∴H(PropertiesofNormalSubgroup)定理:设H是G的子群,则以下几个命题是相互等价的。a∈G,有aH=Ha(即HG)a∈G,h∈H,有aha-1∈Ha∈G,有aHa-1Ha∈G,有aHa-1=H证明:(1)(2):a∈G,h∈H,有ah∈Ha,推出ah=h1a,所以aha-1=h1∈H(2)(3):aha-1∈H,得到aHa-1H(3)(4):a∈G,有aHa-1H,也有a-1HaH;又h∈H,有aha-1=h1,∴h=ah1a-1∈aHa-1,∴HaHa-1,∴aHa-1=H(4)(1):aHa-1=H,得(aHa-1)a=Ha,aH=,令K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},则易证K4是S4的一个子群,而且是正规子群。但H={(1),(124),(142)}是S4的子群,不是正规子群。正规子群还有以下性质:(1)设AG,BG,则A∩BG,ABG(2)设AG,B≤G,则A∩BB,AB≤G(3)设AG,BG,且A∩B={e},则a∈A,b∈B,有ab=(QuotientGroup)设HG,则G关于H的左