《一二维形式的柯西不等式》教学案3.docx

《一二维形式的柯西不等式》教学案3.docx《二维形式的柯西不等式》教学案第一课时教学要求:认识二维柯西不等式的儿种形式,理解它们的儿何意义,:::一、 复习准备:提问:二元均值不等式有哪几种形式?答案:凹2版《>0上>0):已知°、b、c、d为实数,求证(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2证法:(比较法)(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=—.-{ad-be)2>0二、 讲授新课:教学柯西不等式:提出定理1:若a、b、c、d为实数,则(/+b2)(c2+d2)n(g+bd)->什么时候取等号?讨论:二维形式的柯西不等式的英它证明方法?证法二:(综合法)(a2+Z?2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+/?2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2>(ac-i-bd)2.(要点:展开〜配方)证法三:(向量法)设向塑加=(a,b),n=(c,d),贝!J|w|=\la2+b2,|n|=Vc2+t/2-■一■_亠■ »—> ■ —> ・・ —> ■ »—> ・• —>nfn=ac+bd»且fn\n=\m|l|zi|.cos<myn>f贝ij|n|<|m\|n\. ….证法四:(函数法)设/(x)=(a2+b1)x2-2(ac+bd)x+c2+6/2,贝9/(x)=(ax-c)2+(bx-d)2$0恒成立.・・・A=[-2(ac+bd)f-4(a2+b2)(?+rf2) 0,即…..讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式?变式:>Ja2+b23lc2+d2>\ac+bd\或y/a1+b2ojc2+d2^ac\+\bd\或\]a2+b2k/c2+d2>ac+bd•提出定理2:设不万是两个向量,则|砌|<忆||弄|・即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)讨论:上面时候等号成立?(〃是零向量,或者庁,B共线)练习:己知a、b、c、d为实数,求证yja2+b24-yjc24-t/2>y](a-c)24-(/?-J):(分析法)平方一应用柯西不等式 一讨论:其儿何意义?(构造三角形)教学三角不等式:出示定理3:设兀],)[,兀2,歹2WR'则+.yj+yjx-j2+y22—J(兀I一兀2)~+()1—〉‘2)2'分析其几何意义一如何利用柯西不等式证明变式:若心儿兀2,力,心,)辽心则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式?小结:二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、三点)。三、巩固练习:练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式;作业:教材戸74、5题.《二维形式的柯西不等式》教学案第二课时教学要求:会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式的一般方法一一发现具体问题与经典不等式之间的关系,经过适当变形,::如何变形,:一、复习准备:提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式?几何意义?答案:(/+,)(<?2+〃2)二(必+加)2;J器+yj+拭+ 2J(X|—兀2)2+(X一『2)'讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维?如何利用二维柯西不等式求函数〉