试计算酒桶体积和表面积.doc

我读了《趣味几何学》,在“黑暗中的几何学”一章中,我了解了酒桶,对它体积和表面积近似计算时,可用图1:即把酒桶看作两个截圆锥体,想算截圆锥体体积,要从圆锥体入手,从图2左图中可以看出,我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似的三棱锥无限个,要研究的仅是特定的一种三棱锥:把这个三棱锥扩成三棱柱,再扩为长方体,只需要证明三棱锥体积为长方体的,就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的,过程见图3。可以从长方体中切去如图4的与原三棱锥全等的三棱锥3个,即ABDE、BCDG、DEGH,可得图5:从图5中看出,剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG,还有一个大三棱锥BDEG,只要证明三棱锥BDEG的高是三棱锥BEFG的2倍即可(实际要证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍,因为底面积相等,故用高代替)。看点划线长方形BDFH,取出它,如图6:从图中来看,DO是FO的三倍长,那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢?可看图5中波浪线长方形,如图7:(以下证明该图的正确:由于两条线DQ、PF都是与面BEG垂直且在面MNWZ上,而又是面MNWZ与面BEG的相交线,故PF及DQ都与垂直,同时也说明二者平行,而D、F两点都在面MNWZ上,两点的连线必然在面MNWZ上,同样又由于又是面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分,且O点是DF线与面BEG的唯一相交点,故O点也在线上,P、Q、O三点共线)从图中可以看出,由于三角形DOQ和FOP相似,前面已证明DO是FO的两倍,故DQ是PF的两倍,而DQ、PF分别是两个三棱锥的高,则证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的两倍。综上所述,可得出圆锥体积公式:再来看截圆锥体,如图8:截圆锥体是两个圆锥相减的结果,为了分别知道圆锥的高,需要知道k,为此,我们看截圆锥体的截面,如图9:从中可以得出比例式:然后分别求两个圆锥的体积:故截圆锥体体积为:来看酒桶,它近似于两个全等的截圆锥体,如图10:故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。那么酒桶表面积呢?同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图11:如上图点划线所示,可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形,它们的高是L,底之和为2,面积之和为:即圆锥的侧面积为截圆锥侧面展开后得图12:截圆锥的截面为图13:从图12中可以看出:根据图11,分别求两个扇形的面积(利用圆锥侧面积公式):即截圆锥体表面积为:来看木桶,如图14:加上下底面,表面积近似于:至此,木桶体积和表面积近似式都已得出。高伟辰窘瘩懒膀王央裕唯儡蛮箱沦吐堑随碉俊芯谤煤藐除葵最征辙徐愚研郸戊服牺厉杆参党痢赏歌俱昏型弊窗卵惺拟权概僻饰宜内倔懊幻衰娜