数学期望的计算方法探讨.docx

数学期望的计算方法探讨.docx数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学理学院数学与信息科学系,湖北武汉430070)摘要木文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法:利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的対称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。关键词数学期望全期望公式特征函数中图分类号G642 文献标识码A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一•个重要数字特征,随机变量的英它数字特征都是通过数学期望来定义的,因此数学期望的计算问题显得非常重要。求随机变呈的数学期望从模型本身来讲,无非是计算EX二》xiP(X=xi)或=xp(x)dx,\^.涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算乂有很多变化和技巧。下面结合具体场合,介绍一些简化计算数学期望的不同方法。一、利用一些特殊的求和与积分公式(一丿X是离散型随机变量时,EX二三xiP(X=xi)在计算离散型随机变量的数学期望吋,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如三Xkk!=ex工Jl=0X上=1-X(IxlV1丿等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。例设X服从参数为P的儿何分布,求EX,EX2解:ex二ri(1-p)i-1为了求级数工i(l-P)i-h可作如卜-考虑.•由于》ooI-X利用和函数的可微性对此级数逐项求导得d ,dxdx(Xk)=XkXk・\=ddx(1"2从而EX二P艺8/(1-p)i-l=P*I/I・(1・P)]2=1P——41——数学期塑的计算方高等理科教育法探讨X收稿日期2004—11—16资助项目华中农业大学启动项冃(项冃编号:52204-03046)资助1作者简介珞光莲(1969-)女,新疆玛纳斯人,別教授,主耍从审概率统汁的教学和科研工作1同理可得,工k(k-I)Xk-2=ddx(1(1-X)2)=2(1・Aj3,因此有.•EX2=》i2P(X=i)=X8i=112p(]・p)i-\=P(1・P丿2'coi-2(I-I)([-p)i-2+P8i=lZ(l-P)i-\=P(\・P丿32P3+P31Pi=-PPi(二)X是连续型随机变量,X的分布密度函数为p(x),EX=j+xp(x)dx在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如f+2dx=2刀、r函数r(n)=fxn-1e-xdx=(n・1丿仃英中nE1)等。很多学生对积分j+2dx=2兀彳艮陌生,但如果将它变形为.•f+.812〃2dx=1,则会恍然大焙.•“这不正是标准正态分布的分布密f^.p(x)=12JT2dx在(・8,+8丿上的积分吗?当然值为1了!”。因此,在讲标准正态分布的分布密度时引入该特殊积分,会起到很好的效果,既能起到复习概率分布密度p(x)(x)dx=1)的作用,乂能利川该性质间接得到的结果解决相关的积分运算,从而加深记忆。而我们知道X2分布、t分布、F分布的概率分布密度函数部用到厂函数因此了解和记忆厂函数的一些基木性质是很有必要的,在讲解数学期望时适吋复习一下可谓是一举两得。例设X的分布密度函数为p(x)=alla2 X>(),求EX0 xFO解:EX二j0x3x2aidx=令〉•二2= (•刃e・yzdy]=2刀2a二、利用数学期望定义的不同形式(一丿若取非负整数值的随机变量X的数学期望存在,则》P(XEk)冇时对取非负整数值的随机变量x我们很容易得到HxEk),此时用该定义来计算数学期望就很简单。例掷n颗均匀的散子,求掷得最大点数X的数学期望分析喏直接用定义则需耍求出P(X=k),直接计算不易得出,但易知:P(XEk)=l-(k-\)n6”(k=1,2,…,6丿,因此用EX=2P(XEk)计算EX会很方便。解得.•EX=»(k・\)h6”(二丿若随机变量X的分布函数为F(x),则EX二J…0[\-F(x)]dx-joF(x)dx当分布函数F(x)为以x=()为分段点进行定义的分段函数时,用该公式计算数学期望尤其简便。例设X服从参数为久的指数分布,求空解的分布函数为F(x)=1-e-ixx>00xF0—42—高等理科教育 2006年第5期(总第69期)0F(x)dx=[\・F(x)]dx=o/1-(1-e-Ax)]dx1A三、 利用分布的对称性当随机变量的分布律或分布密度函数较复杂时,直接利用定义求其数学期望较困难。但如果随机变量的分布律或分布密度函数具有対称性,则英数学期望就是萇収值的对称中心,这个结论的证明并不难,可参阅文献小。实际上,从数学期望的实际意义来看,这个结论也很显然,因为数学期望就是随机变量取值的集中位置,当分布律或分布密度函数具有对称性吋,取值的集小位置就是对称屮心。尤具当随机变量服从均匀分布时,其取值的对称屮心非常容易得到,由此得到具数学期望。例设二维随机