柯西施瓦茨不等式.doc

柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者:查敏指导老师:蔡改香摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用,,反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快,甚至可以得到一步到位的效果,-Schwarz不等式Minkowski不等式Holder不等式Hermite阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛,是异于均值不等式的另一个重要不等式,灵活巧妙的运用它,可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决,这个不等式结构和谐,无论代数、几何,、、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用,,则(1)其中当且仅当(为常数),因此上述不等式的判别式大于零,即:易得(1),很容易想到柯西不等式解之柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛,,有(2)事实上,由(1)得这就证明了(2).将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充,,,其中且得赫尔德不等式中,当时为柯西施瓦茨不等式,,,且,:推论1若对任意非负实数,有,则下面将上命题1进行推广:引理1(算术-几何平均值不等式)设为个正数,则,,作定义:则在中定义了的加法、数乘、内积作成上的线性空间一定构成欧几里得空间,简称欧氏空间(在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论2设是组实数,则有(2),不妨设从而由引理1有对上式进行的累次求和,可得即(4)由于同理,这样(4)式为再两边同时次幂,得故证得(3),除,其余均为1,且,则不等式(3)就是不等式(1)(将命题1推广为无限和不等式)设且,,,则(证明过程可仿推论2的证法并结合引理2).微积分中的Cauchy-Schwarz不等式命题2设在可积,则(5):因为在上可积,则由定积分的性质均在上上可积,对区间进行n等分,,有由(1)式知再由极限的保号性易知(5),或成正比,则(5)式等号成立,,除有限点外,,有,:设在上连续,有正下界,记,求证: .证明为了分析的变化趋势,,平方得,,所以存在,使得,故