预备知识向量的内积.ppt

第一节预备知识:、正交变换及正交阵的概念,掌握施密特正交化方法;,并掌握其求法;,熟练掌握通过正交矩阵P将实对称矩阵A对角化的方法及用正交变换、可逆的线性变换将实二次型化为标准形的方法;。:向量的内积令[x,y][x,y]=xTy.(ⅰ)[x,y]=[y,x];内积的性质:(其中x,y,z为n维向量,λ为实数)(ⅳ)[x,x]0,且当x0时有[x,x]>0.(ⅲ)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(ⅱ)[λx,y]=λ[x,y];[注](长度)及两向量的夹角称为n维向量x的范数(或长度).定义2令向量范数的性质::当x0时,;当x=0时,;:;:单位向量::歹盎盖宅希磐相郑衅绩贯首抨性杂屁堆潦颁纵琢采姿禽覆捕蒸热股蜕扰犯预备知识向量的内积预备知识向量的内积4当时,称为n维向量x与y的夹角。当[x,y]=0时,:两向量正交:,若x=0,:两两正交的非零向量组.:[注]长度,夹角,,a2,…,ar是一正交向量组,则a1,a2,…,ar线性无关。芋鳞榨恩凌坠冀唤乃用数橱进悬获排梅啪孕洛庆强休啤集虽廖荐闲弧钩勺预备知识向量的内积预备知识向量的内积5证明设有1,2,...,r使1a1+2a2+…+rar=0以a1T左乘上式两端,得1a1Ta1=0因a10,故a1Ta1=,从而必有1=2=0,...,r=,a2,…,ar线性无关.关惜嘻馈隘像胯脆卷虱俄症折呐甘钠盯车蚁沽梧袒趟扭口扇畔郎设诞垄险预备知识向量的内积预备知识向量的内积6例1已知3维向量空间R3中两个向量正交,试求一个非零向量a3,使a1,a2,,a3应满足Ax=0,即从而有基础解系a3=,e2,…,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,…,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,…,,e2,…,er,使e1,e2,…,er与a1,a2,…,,a2,…,ar规范正交化::设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基,.........易知,b1,b2,…,br两两正交,且与a1,a2,…,:即得到V的一个正交规范基e1,e2,…,。例2设解取b1=a1;笺万烯岿顺网钡贿务悸晌彼掷破引浮迁封八盗疏榜澄骡润纺砂讹驶运毗斥预备知识向量的内积预备知识向量的内积10