《计算实习》课程设计报告之线性方程组的求解.doc

《计算实习》课程设计
报告
课题名称:线性方程组的求解
系(院): 理学院
专业: 数学与应用数学
班级:
学生姓名:
学号:
指导教师:
开课时间: 2010-2011 学年一学期

摘要
本文主要考虑了一类系数矩阵为正定对称矩阵的线性方程组的求解问题,基于等价转换可将该问题的求解转化为一个二次函数极小值点的求解。基于这种等价性,我们可以从构造二次函数的极小值点的算法入手,寻求解线性方程组的算法。这里考虑了一种基于迭代思想构造的算法,对该算法的两个关键部分给出了证明和推导,并给出相应的MATLAB程序,从而解出线性方程组。最后用两个实例验证了所给程序的正确性。
关键字:线性方程组 MATLAB程序
一、问题重述:
第一题是要证明线性方程组AX=b 的解等价于求解二次函数的极小值点,即。
第二题是要给出最佳步长的推导过程。
第三题是要给出上述算法的MATLAB程序(写成函数的形式)。
第四题是:设方程组为
试用第三题给出的程序进行求解,取,,并作图表示迭代结果。
第五题是要借助第三题的程序计算的极小值,取
,。
二、问题分析:
第一题:将展开得到一个n元函数,对它求一阶导即可得到AX=b,再求二阶导即可证明取极小值;
第二题:运用第一题的结论很容易得到第二题的答案,此为证法一; 也可以将视为关于的一元函数,对求一阶导也能得到所需的结果,再求二阶导大于零即可,此为证法二;
第三题要求给出文中所给迭代算法的程序,该算法满足一定条件就结束迭代,可用while循环结构表示,将迭代结果保存在一个矩阵y中,y的第k列表示第k次迭代结果;
第四题直接调用第三题的程序,把相应的数据输进去就可以得到所需的答案了,再通过作图命令即可得到所需的图像了;
第五题由于将展开有常数项,与上述的展开式形式不一样;故我们可先作变量代换x3=x3-1;这样
形式上就与一样了;再由可得AX=b的矩阵形式:
再调用第三题给出的程序进行求解,最后将结果回代。
三、问题求解及程序:
第一题:
证明:由AX=b有:
= =
因为:
所以:
=—
由该函数的表达式可以看出:该二次函数是关于的多元函数。
故:=


=


=
令=0,,=0,,=0
得:




此为n元线性方程组,将它写成矩阵形式有:
=……………………..(1)
因为A是对称矩阵,所以:
=
故(1)式变为:
=
即AX=b,又:
=,….,=,…,=
=,….,=,…,=
因为Hesse矩阵为:
H=
==A
由题知A为正定矩阵,
所以H>0故取极小值,也就是说:
线性方程组AX=b的解等价于求解二次函数的极小值点,即。
证毕!
第二题:
证法一:
由第一题的结论知:满足min的值必满足AX=b!
故……………………………………………..(2)
由得:
将它代入(2)式得:
化简之后有:
因为为一参数,所以:
=
所以:
证毕!
证法二:
我们先证明几个命题:
A为正定对称矩阵;
(1)
(2)(aX,Y)=a(X,Y)=(X,aY)
(3)(AX,Y)=(X,AY)
(4)(X,Y+Z)=(X,Y)+(X,Z)
(5)(X+Y,Z)=Z
=Z
=Z
=
=(X,Z)+(Y,Z)
(6)(X+Y)(Z+Q)
=(X,Z+Q)+(Y,Z+Q)
=(X,Z)+(X,Q)+(Y,Z)+(Y,Q)
由及上述公式有有:
=(A+A,)-(b,)
=+++
--
此为关于的一元函数,故对求导,并将代入有:
=
=-
令=0有:
对求二阶导有:
=
因为只要〉0;就大于0;所以:
>0故:
取极小值;所以:
证毕!
第三题:
function y=w4(a,x,b,e)%定义一个函数以求解线性方程组;这个程序需要输入a,x,b,e 四个参数;a表示正定对称矩阵A;x表示初始向量;b表示矩阵b;e表示;运行程序后得到的值y是一个矩阵;其最后一列就是线性方程组的解;
r=b-a*x;% 计算;
y(:,1)=x;%记录的值;
l=(r'*r)/((a*r)'*r); %计算第0步步长
x=x+l*r;% 计算第0步迭代值;
y(:,2)=x;% 记录的值;
r=r-l*a*r;% 计算第1步的;
i=2;%i的初始值为2是为了方便的记录循环过程中变化着的x的值;
while sqrt(r'*r)>e%给出循环结束的条件;
i=i+1;% 开始循环;
l=(r'*r)/((a*r)'*r); %计算第k步长,其中k=i-1;
x=x+l*r;