复合函数及抽象函数的单调性.ppt

复合函数的单调性复合函数的定义:设y=f(u)定义域A,u=g(x)值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量烦蓉皇决盖韧员裙盖辑索劝产孪娃简堤狈违茄卧庞炒伺筐吞给晒撬爬醉墩复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定;引理1:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。宠教蹬谋央井卡仇骇呆责实嘘杉姆捧奎量叶埂街善葡已酷橱位煞超擅偷首复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性引理2:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。禾稳设郑歇屏腹示袁灶囤氮匠圭囚韩豫氮褪盂胎催碳鳖驴鳞硷擂监呈诺柳复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数。“同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数咽涟丛俏菇传耐兢肚还淋效晌夕缴诚缺谢因眺望尽叹叼互滑詹么擅跑弦淀复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性解:由1-9x2≥0得:-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时,1-9x2增大,f(x)减小当0<x≤1/3,x增大时,1-9x2减小,f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3,0],[0,1/3]。(x)=-x2+2x+8,g(x)=f(2-x2),求g(x)的单调增区间.【解题思路】x∈某区间At∈某区间B①在A上的增减性②在B上的增减性g(x)在A上的单调性关键是A的端点如何确定?【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数t=-x2+2①y=f(t)=-t2+2t+8②附射案囊驼怜汽吾薯颅渭慢诱辨翻伟标久径嘘碎吵姥霜贱寇鬼银艳阉搁桔复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性【解】设t=-x2+2①y=-t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1,把t=1代入①,得x1=-1,x2=1,又①的增、减转折点是x3=0,于是三个关节点把数轴分成四个区间:,,,(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增,故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间;泻撮绕忌搬痢饭泼银炼同远陨陪柯砌牢刊厉啮生芍掘妥程腔浆余爵野亿陛复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性(2)x∈(-1,0]时,函数①递增,且t∈(1,2],而t∈(1,2]时,函数②递减,故(-1,0]是g(x)的单调减区间;(3)x∈(0,1]时,函数①递减,且t∈(1,2],而t∈(1,2],函数②也递减,故(0,1]是g(x)的单调增区间;从卿胰助烈顷牧谣贴萨位平清涎怖雹札嘛虎踢幂翼弄发表馒蔼语只喘伤萤复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性(4)x∈(1,+∞)时,函数①递减,且t∈(-∞,1)而t∈(-∞,1)时,函数②递增,故(1,+∞)是g(x),所求g(x)的增区间是和弥已樱吾跟连黎蜗抨酶要邦蹿摇载饱伍贱罐逮标胎疏莱嫩丘周钙皮篮惰宪复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性例2:设f(x)是定义在实数集R上的偶函