9.一笔画和多笔画.doc

“田”字吗?所谓一笔画出的意思就是在一张纸上(不允许折叠)笔不离纸,而且每一笔划(或称线段)只能画一次,不准重复。对于“串”字或“品”字呢?结果会怎样?(参看图8-1) 通过各种尝试发现,“田”字总也不能一笔画成,而“串”字却可以一笔画成。由于“品”字中的三个“口”字不连在一起,显然也不能一笔画成。我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画。一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成。例1下列图形哪些能一笔画成?哪些不能一笔画成? 经过尝试,你会发现,图8-2(a)、(c)、(e)是可以一笔画成的。而且图(c)、(e)可从任意一点出发,一笔画成回到出发点,而图(a)只能从A(或D)点出发,一笔画成到D(或A)点结束。如果图形非常复杂,用这种逐一尝试的方法,则所花的时间较多,且有时还无法下结论。有没有一种简便的判断方法呢?下面就来研究这个问题。上面研究的图形都是由点和线段(或弧)组成的,在数学中叫做图。图形中的点叫图的结点,线段(或弧)叫做图的边。作为一个图,其图形还必须满足以下条件: (1)每条边都有两个端点(可以重合)作为结点; (2)各条边之间互不相交。一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定,而与边的曲直长短无关。图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数。度数为偶数的结点叫做偶结点。例如,图8-3中结点C、D、E都是偶结点。度数为奇数的结点叫做奇结点。例如,图8-3中结点A、B、F、G都是奇结点。任何两点间都有线连接的图称作连通图。(如图8-3中D与G可通过DB、BA、AG连接) 观察例1中的五个图,其结点的奇偶性可列成下表: 从表中可以发现,一个图能否一笔画成,与图的奇结点的个数有密切联系,人们总结出如下规律: 一个图若是一笔画必定是个连通图。一个连通图,若没有奇结点(即全是偶结点),那么这个图一定可以一笔画成,而且可以从任一偶结点出发,一笔画成回到出发点。一个连通图,若只有两个奇结点,那么这个图也可以一笔画成。而且只能从某一奇结点出发一笔画成,到另一奇结点结束。一个图,若奇结点个数多于两个,那么这个图就不能一笔画成。例2判断下列各图是否能一笔画出来。解:其中(b)、(d)、(e)三个图无奇结点,所以可从任一点出发,一笔画成,并且回到出发点;(a)、(f)两图各有两个奇结点,所以可从其中一个奇结点出发,一笔画成,到另一个奇结点结束;而图(C)的八个结点都是奇结点,所以不能一笔画出来。当作练习,请把例2中能够一笔画的图一笔画出来。二、七桥问题和欧拉定理问题2七桥问题。关于一笔画,曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题。事情发生在18世纪的哥尼斯堡,有一条河流从这个城市穿过,河中有两个小岛A、B,河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸(参看图8-5),那里的居民在星期日有散步的习惯。有的人想,能不能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点?这个问题似乎不难,谁都想试一试,但谁也没有找到答案。后来有人写信请教著名的瑞士数学家欧拉。欧拉的头脑比较冷静,千百人的失败使他猜想:也许那样的走法根本就不存在。1936年他证明了自己的猜想。欧拉解决七桥问题的方法独特,思想新颖,非常富有启发性。他用点表示小岛和两岸,用连结两点的线段表示连结相应两地的桥,得到由七条线段连结四个点而成的图