矩阵n次方的几种求法的归纳.doc

,记为C=AB,则由定义可以看出矩阵A与B的乘积C的第行第列的元素等于第一个矩阵A的第行与第二个矩阵B的第列的对应元素乘积之和,且由定义知:第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相。例1:已知矩阵,,求AB解:设=,其中;由矩阵乘积的定义知:将这些值代入矩阵中得:=则矩阵的次方也可利用定义的方法来求解。,就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理,再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设把,分解成一些小矩阵:,,其中是小矩阵且,,且,;是小矩阵且,;且,;令=,其中是小矩阵且,,且,;其中。这里我们应注意:矩阵列的分法必须与矩阵行的分法一。例2:已知矩阵,,求解:将,其中,,,由矩阵乘积法则知:AB=由矩阵加法和乘积法则:则矩阵的次方的求解也可利用以上方法来求解。,从而找出规律再求解,但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵次方的运。例3:已知A=,求解:当时当时所以假设=当时成立,假设当时成立;则当时由矩阵乘法定及三角函数知:=则假设成立。所以=,且另外这个矩阵的次方计算起来比较简。例4:已知A=,求解:,其中,矩阵为单位阵且;故=由则时,=0。故由矩阵加法运算法则:=(利用对角矩阵来求)定义:设矩阵,为数域上两个级矩阵,如果可以找到数域上的级可逆阵,使得矩阵,就说与相。如果矩阵或有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。而判断矩阵可对角化的条件:1)矩阵可对角化的必要条件是矩阵有个不同的特征值2)矩阵可对角化的充要条件是矩阵有个线性无关的特征向量3)在复数域上矩阵没有重根而求矩阵的特征值和特征向量的方法:1)求矩阵特征多项式在数域中的全部根,这些根是矩阵的全部特征值。把这些所求的特征值逐个的代入方程组中,对于每一个特征值,解方程组,求出一组基础解系,那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。再利用判别法判断矩阵是否可对角化。例5:已知矩阵,求解:易知矩阵的特征多项式=由行列式计算方法知:=所以矩阵的特征值为。当特征值为时,解方程,由齐次线性方程组的计算方法知:的基础解系为=;所以矩阵A属于特征值1的全部特征向量为,其中0。当特征值为时,解方程,由齐次线性方程组的计算方法知:的基础解系为=;所以矩阵属于特征值的全部特征向量为,其中。当特征值为时,解方程,由齐次线性方程组的计算方法知:的基础解系为=,所以矩阵属于特征值3的全部特征向量为,其中。则由矩阵可对角化的条件知:矩阵可对角化且对角阵为令=,由求逆矩阵的方法知:因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知:所以,则由,由矩阵的乘法运算法则知:2)对方阵,设,对做初等变换,化成其中为上三角阵,则矩阵主对角线上元素乘积的的多项式的根即为的特征根。对矩阵的任一特征根,代入中,若中非零向量构成一满秩矩阵,则行向量所对应的中的行向量即为的特征向量;否则,继续施行初等行变换,使得中非零向量构成一满秩矩阵,则中零向量所对应的中的行向量即为的特征向。这类问题所涉及的定理是:对任意方阵的特征矩阵经过行变换,可化为上三角矩阵,且主对角线上元素乘积的多项式的根即为矩阵A的特征值。例6:已知矩阵,求解:,作初等行变换