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四点共圆(一)四点共圆【知识要点】四点共圆的判定方法:1、若四个点到一定点的距离相等,则这四个点在同一个圆上(即这四点共圆)。2、若一个四边形的一组对角的和等于180度,则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若、两线段相交于点,且,则、、、四点共圆。6、若、两线段延长后相交于点,且,则、、、四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角的三条高、、交于,在、、、、、、( )A、组B、组C、组D、组例2、如图,、、、四点在同一圆上,的延长线与的延长线交于点,且。(1)证明:;(2)延长到,延长到,使得,证明:、、、、如图,在梯形中,,点,分别在边,上,设与相交于点,若,,,四点共圆,求证:.例4、已知点,,直线过点与轴交于点,若、、、四点共圆,则的值为()A、B、C、D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、,延长、分别交圆于、,求证:.例6、如图,,分别是,边上的点,且不与顶点重合,已知,,,为方程的两根.(1)证明:,,,四点共圆;(2)若,,,求,,,、如图,为圆的直径,为垂直于的一条弦,垂足为,弦与交于点.(1)证明:、、、四点共圆;(2)证明:.例8、如图,在平行四边形中,为钝角,且,.(1)求证:、、、四点共圆;(2)设线段与(1)中的圆交于、.求证:.例9、如图所示,为的内心,求证:的外心与、、、、、三点共线,点在直线外,,,分别为,,:,,,、如图,在中,,分别是,的角平分线,是与的交点,若,,,四点共圆,,则的内切圆半径为多少?例12、如图,点是外接圆弧的中点,点、在边上,使得,。证明:、、、、如图,,,,.(1)求证:、、、四点共圆;(2)若,、在的边,,上分别取,,.使得,,又点是的外心.(1)证明:,,,四点共圆;(2)证明:、如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,、分别为弦与弦上的点,且,、、、四点共圆.(1)证明:是外接圆的直径;(2)若,求过、、、、如图,锐角的内心为,过点作直线的垂线,垂足为,点为内切圆与边的切点.(1)求证:,,,四点共圆;(2)若,、如图,在正中,点,分别在边、上,且,,,相交于点,求证:(1),,,四点共圆;(2).