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数学的本质与数学教育
胡重光
(湖南省第一师范学校教科所,湖南长沙410002)
关键词:数学的本质;数学史;数学模型;数学活动
摘要:关于数学本质的认识对数学教育具有根本性的指导意义。数学活动包括建立数学模型、研究数学模型、运用数学模型三个方面。数学源于实践并用于实践,数学理论的正确性要依靠实践的检验。数学教育应让学生完整地参加数学活动的三个方面,数学教材应为学生提供具有现实情境的学习材料。
关于数学本质的认识对数学教育具有根本性的指导意义,Hersh说:“问题并不在于教学的最好方式是什么,而在于数学到底是什么。……如果不正视数学的本质问题,便解决不了关于教学上的争议。”[1] Thom说:“事实上,无论人们的意愿如何,一切数学教学法根本上都出于数学哲学,即便是很不规范的教学法也当如此。”[2] 因此,数学的本质问题应引起我国数学教育界的高度重视。
一、历史的启示
要正确认识数学的本质,考察数学产生和发展的历史是一条十分重要而有效的途径。
西方学者认为,作为一门独立科学的数学起源于古希腊(前600年—前300年)。古希腊人对数学乃至科学的最伟大的贡献是发现了推理的作用,并确定了逻辑推理的法则。古希腊数学的代表作《原本》,就是欧几里得利用演绎推理,从几条“不证自明”的公理和公设出发,构建的一个几何体系。这一著作对数学和数学教育影响极大,直到19世纪都被当作数学推理的理想典范、数学教材的经典。

注:本文为湖南省教育厅资助教改项目的研究成果。
但是古希腊数学一开始就存在先天的不足和致命的缺陷。
古希腊的数学家研究数学并不是为了解决任何实际问题,也不是为了揭示自然真理,其目的主要是为了把已取得了数学成果组织成一个演绎体系(例如《原本》就是古埃及几何成果的整理和归纳),甚至仅仅把数学作为一种智力游戏。古希腊数学家热衷于诡辩,就是典型的例证。“阿基里斯追不上乌龟”,“飞箭不动”都是流传至今的著名诡辩。这些诡辩包含深刻的数学思想,在当时却无任何实际应用。为了维护他们的数学理论的美,古希腊数学家不承认无理数,这样,古希腊数学就不能用于应用科学。实际上,古希腊人反对数学在商业、航海、建筑和历法制定上的应用。在古希腊人那里,数学是一门先验的知识体系。在以后的2000年,这一观点一直在数学界占统治地位。
然而缺陷迟早会暴露。第一次威胁到数学的绝对真理地位的事件,是19世纪非欧几何的诞生。这表明,几何空间不是惟一的,而数学并不能判断哪一个是真实的,靠“不证自明”的公理和逻辑推理并不能保证数学体系的可靠性。
代数也同样遭到打击。1843年,哈密尔顿发明了四元数,之后不久,著名代数几何学家凯莱引进了矩阵,它们都可以进行通常的代数运算,并能解决大量的几何和物理问题,然而都不具有以前各种数都具有的乘法可交换性,并且两个都不为0的矩阵,其乘积却可以为0。这在数学界引起了巨大的震动。
甚至算术的真理地位也受到了沉重打击。卓越的物理学家和数学家亥姆霍兹1887年在他的《算与量》一书中指出:只有经验能告诉我们算术公式是否普遍适用。他举出了许多例子说明盲目应用算术会导致谬误:将体积相同、温度分别为40°F和50°F的两杯水混合,得到的并不是温度为90°F的两杯水;将频率分别为100赫兹和200赫兹的两个单音叠加,得到的并不是300赫兹的单音;两体积氢与一体