伯努利方程推导.doc

伯努利方程推导在图1-13所示的流管内取截面A1到截面A2的一段液流,两端的通流截面积各为A1、A2。在此液流中取出一微小流束,两端的通流截面积各为dA1和dA2,其相应的压力、流速和高度分别为p1、u1、z1和p2、u2、z2。(一)理想液体的运动微分方程在此微小流束上取出一段通流截面积为dA、长度为ds的微元体,如图1-12所示。在一维流动情况下,对理想液体来说,作用在微元体上的外力有以下两种:1)压力在两端截面上所产生的作用力:(1)2)作用在微元体上的重力重力在流线S上分力:(2)微元体的流速:微元体的加速度(3)m=,根据牛顿第二定律ΣF=ma,有(4)用遍除(4)式各项,得(5)恒定流动,,,,,则式(5)变为:(6)这就是理想液体沿流线作恒定流动时的运动微分方程。它表示了单位质量流体的力平衡方程。(二)理想流体的能量方程将式(6)沿流线s从截面1积分到截面2(见图1-12),便可得到微元体流动时的能量关系式,即:上式移项,两遍同除以g,得(1-33)由于截面1、2是任意取的,故上式也可写成:(1-34)式(1-33)或式(1-34)就是理想液体微小流束作恒定流动时的能量方程或伯努利方程。它与液体静压基本方程〔式(1-23)〕相比多了一项单位重力液体的动能u2/2g(常称速度水头)。(三)实际液体的能量方程实际液体流动时还需克服由于粘性所产生的摩擦阻力,故存在能量损耗。设图1-12中微元体从截面1流到截面2因粘性而损耗的能量为h’w,则实际液体微小流束作恒定流动时的能量方程为:(1-35)将式(1-35)的两端乘以相应的微小流量dq(dq=u1dA1=u2dA2),然后各自对液流的通流截面积A1和A2进行积分,得:(1-36)为使式(1-36)便于实用,首先将图1-13中截面A1和A2处的流动限于平行流动(或缓变流动),这样,通流截面