二重积分的计算方法.doc

二重积分的计算方法()————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: ,,被积分函数在积分区域上连续时,若为型区域(如图1),即,其中在上连续,则有;(1)图1若为型区域(如图2),即,其中在上连续,则有.[1](2)例1计算,其中是由,,,(1)=xxy=,但积分区域并不是简单的型或型区域,不能直接使用公式(1)或者(2)进行计算,这是可以将复杂的积分区域划分为若干型或型区域,然后利用公式(3)进行计算,例2计算二重积分,:积分区域如图5所示,区域既不是型区域也不是型区域,但是将可划分为均为型区域,进而通过公式(3)和(1)=2yy=2xx+y=3图5解划分为,,但是当被积函数较为复杂,虽然能定出积分限,但被积函数的原函数不易求出或根本求不出,这时可根据被积函数划分积分区域,,其中为区域,.分析由于被积函数含有绝对值,其原函数不能直接求得,以至于不能直接化为二次积分进行计算,观察函数本身,不难发现当我们把积分区域划分为,两部分后,被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数,,其中,由公式(3)则2利用变量变换法计算定理1设在有界区域上可积,变换,,将平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成平面上的区域,函数,在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式,.则(4)(4)式叫做二重积分的变量变换公式,,这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数,原积分区域相应的转化为新的积分区域,,其中是由所围曲线(图7)分析由于被积函数含有的指数,且较为复杂,这时可以考虑替换变量,简化被积函数,如果做替换:在变换作用下区域的原像如图8所示,根据二重积分的变量变换公式,,积分区域却比较复杂时,可考虑积分区域,若有且,则把平面上的积分区域对应到平面上简单的矩形区域,然后根据二重积分的变量变换公式(4),其被积函数很简单,但是积分区域却比较复杂,观察积分区域不难发现;,如果设,则有,解的面积作变换,,可以做变量替换T:,,区域的原像,、或形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,如圆形及圆形区域的一部分,可考虑用极坐标变换,这个变换除原点和正实轴外是一一对应的(严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的,但可以证明公式(1)仍然成立),其雅可比行列式为.(1)如果原点,且平面上射线常数与积分区域的边界至多交于两点,则必可表示为,.则有(5)类似地,若平面上的圆常数与积分区域的边界至多交于两点,则必可表示为,那么(6)(2)如果原点为积分区域的内点,的边界的极坐标方程为,则可表示成,则有(7)(3)如果原点在积分区域的边界上,则为,那么(8)例7计算,其中为圆域:分析观察到积分区域为圆域,被积函数的形式为,且原点为的内点,故可采用极坐标变换,,,其中是由直线,,画出积分区域,由于积分区域与一起围成规则图形正方形,且为半圆区域,,为正方形区域,为半圆区域,则有,而,,作如下广义极坐标变换:并且雅可比行列式同样有(9)例9计算,其中分析根据给出被积函数和积分区域的形式,我们可以确定采用广义极坐标变换,,由(9)