一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性.pdf

第卷第期经济数学
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一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性·
马满军
中南工学院,湖南衡阳
摘要利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型
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的平衡点妥二的全局吸引性,所获结果改进了文蔽中相关的结论
关键词时滞,全局渐近稳定,全局吸引性
引言
考虑单种群增长模型—一阶非线性时滞微分方程
·亡猎瑞长笼,
及初始条件
沪,一成簇
其中
任〔,, 〔,,甲任一,〕,

甲一‘‘一‘,任〔,,任,
方程详细的生物学意义和研究该方程的实际作用请参看文献〔〕
当‘时,方程退化为下述著名的刀微分模型
一一〕
方程解的各种性态已被广泛研究,参见「一」
在仁中,,和研究了方程和解的有界性和全局吸引性,证明了
如果
伪“,一
且存在占和使得
的蕊母镇一“,
则与的每个整体解存在区间为「,趋向
本文首先研究与方程相关的一个差分方程
。本文在湖南大学访问期间完成
收稿日期一一
第期马满军一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性
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的平衡点万二的全局渐近稳定性,其中
任,,尹任,,二,乍
然后应用于方程,获得其平衡点丙全局吸引即所有解趋向的充分条件,该条件改
进了式。
差分方程的全局渐近稳定性
引理假设条件成立,
十刀
则方程有唯一平衡点妥
引理假设条件和成立,定义映射
了一、
一气。下不
则映射将区间,招映为,乍
引理、容易直接验证,详细证明略,
引理假设条件和成立,则方程的平衡点妥二是局部渐近稳定的,
证“方子‘程体、‘厂在协平’衡闪闷点山二‘处线性’‘化。方刀‘程一月为矶‘”十,‘二尹石今一乙‘”’,刊当尹万吕一万一时‘’,由叫线性一化‘“’稳
定性理论〔,推论。〕知方程的平衡点万二是局部渐近稳定的当石孚二时,在
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程的平衡点灭二亦是局部渐近稳定的,证毕。
下述引理引自,定理,〕
引理假设
将某个区间映到自身
万是了在上唯一不动点
在上的导数为负
了在上单调递减
如果差分方程
。二了,
的平衡点万是局部渐近稳定的,则于也是全局渐近稳定的
定理假设条件和成立,则方程的平衡点贾二在区间,乍上是全局渐近
稳定的。
证
设映射如式所令,根据引理一,只需验证在区间,节上的
导数为负
,事实上,对于任一任,招,的导数为
“立了麒习、“二土
’,戈一压
证毕,
经济数学第卷
微分方程《的全局吸引性
下面的定理讨论了和解的有界性
定理假设条件成立且
成一
则初值间题和的解“,甲满足
一’
证当成立时易证和的所有解,令,则变换
一、,、一一