一类非线性差分方程存在正解的充分条件.pdf

第卷第期经济数学
《兀年月州叭叭万公工八刃
一类非线性差分方程存在正解的充分条件
张入元张慧娟
湖南大学应用数学系长沙, 长春装甲兵学校,《沁
摘要本文得到具以下形式的非线性差分方程存在有界单增正解的充分条件
。乓火一,一’‘然一’二
其中乓养,为正数列,引界,是非负数列
关键词单增正解,不动点,一致哥西
引言及主要结果
在〔中,对兰的情况证明了如果
艺’,一簇、,,,⋯
则方程存在单增正解
〔」假设一是二正奇数之比且艺‘’,一”,讨论了存在正解的充分必要条
件本文假设,蒸、,孔,分别为正数列和非负数列,证明了
定理如果愈六郭,‘“,一‘’‘
则方程有单增正解蒸满足一,浊簇“·
当二时,变成习习、’‘一,毛,而由得到习习、‘,一,’簇,,所以
俐正川俐奋脚
是的严格推广
主要结果的证明
用任表示实数列界。满足叩,对任广,记
二毛定义
二任一。簇弓一,,习灵少一’
则易证以下结果
引理是广中的有界闭凸集
证只须证为中闭集其余易得,设”’界二又任,又收敛于三二毛当
收稿日期一一
第期张人元等一类非线性差分方程存在正解的充分条件一一
艺
,时往证当又任,。二,,⋯,时必有万。我们只须指出川尽少一‘,肴
任意取定,则由又分,就有

习以井,一‘,肴
目悠属浏户一‘’彩”愧‘
由对任意性,便有习以井,一。肴

如果成立,我们可以定义映射的如下,对二二肴任,定义二
的,其中
侣。毛,盛
几。二公〔以介“一”勾劝”一‘
几聆脚翻
如果界。是方程的一个单增正解,设介二二兔介一。火恤一,则二今满
足介二二,反之,如果在内有不动点二肴,则
友一
,。二,火二异少一。勺,,,,。二
全公
是方程的一个单增正解·此时,易证镇‘,因而有曳成‘·总之,我们有
引理如果所定义的映射了在内有不动点,则定理的结论成立。
为证明丁在内有不动点,须证明以下个引理
引理。若成立,则,
证任取毛,曾先由、并注意到对友《成立矛,就有
兄二洲,一‘’
, 圣一资,,、今
二习脚,异产,一‘,习对扩‘一‘,二,‘户,」坑户一’
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试习以御
川以少一,’习【。全,、产,一,,户一、六
乏
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间以少一,,全,一‘酬六
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一鲁言柔,’“,一‘’·镇‘
由以上推导过程,还可得出
《己公又“‘“一,,二,,,⋯
乏矛十
另由可推知。·熟’,”一‘’簇,一‘》,故成立
口
乃,成君习凡‘户一‘’成·艺。’一’攫一‘’
哥昙夕里
由,总之得证。
定义见〔,定义, 集合仁翌称为一致哥西的或,等度哥西的,如果对任
意的。,存在一个整数使得
经济数学第卷
一‘,
对一切￡,及众成立
引理若成立,则〔一致哥西。即对任意的,存在。,使得对
任何“任及,异蕴涵着
云一介。
证对以上。,由知凡收敛,故存在。,使得当。时

兄凡‘一‘,牙· 于是由及以上讨论可知对,妻,有
一,簇‘,
成习’一‘。
孟二
从而引理得证。
引理若成立,则连续
证任取。二钾任在卜。下、一二肴任往证。,为此只