第卷第期经济数学
年月
向量损失函数下线性模型中参数估计的容许性‘
李璐刘万荣
湖南师范大学数学与计算机科学学院数学系,长沙,
摘要本文讨论了向量损失函数下参数佑计的可容许与在常用损失函数下可容许之间的关系,并研究了
在一元线性模型、多元线性模型中参数佑计在特定佑计类及一切枯计类中的可容许性,给出了估计可容许的
一些充要条件和充分条件
关键词向量损失函数,可容许性,一元模型,多元线性模型
引言
参数估计的容许性问题一直倍受关注,二次损失函数和矩阵损失函数是我们研究容许性
常用的损失函数,文「〕〕中对参数估计在这两种损失函数下可容许性关系进行了研究自
年文提出向量损失函数以来,在向量损失函数下研究线性估计的可容许性成了一个
新问题文仁在向量损失函数下研究了几类模型下的参数估计的可容许性,但对随机误差的
协方差矩阵要求过于严格本文放松了这一要求,在文的基础上进一步研究了在一元线性
模型、多元线性模型和增长曲线模型中参数估计在特定估计类及一切估计类中的可容许性,并
导出参数估计在特定估计类和一切估计类中可容许的一些充要和充分条件
定义记,,,⋯,,‘,,,,⋯,。夕‘,用估计时,
向量损失函数为
, 一,一“,⋯,。一,‘
定义设刃二了牙为给定的估计类,妇在损失函数下的风险函数为
叨,一,夕,一夕,⋯,。一。‘
夕,夕,⋯,,夕
定义在损失函数下,如果对任意的,都有,歹镇尺,,,,
⋯,,且对某个。及。等号不成立,则称歹户优于妇如果不存在歹户任丫,使得歹妇优
丫
于,就称刃是在丫中的容许估计,且记为刃当刃是在一切
估计类中的容许估计时,记为妇的
文「讨论了参数估计在二次损失下和矩阵损失下可容许性之间的关系,得到了如果参数
估计在二次损失下可容许则一定在矩阵损失下可容许的结论下面的定理讨论了参数估计
湖南省教育厅基金资助项目
收稿日期一一
一一经济数学第卷
在向量损失下可容许与在二次损失下及在矩阵损失下可容许之间的关系
丫
定理若在二次损失函数一’一夕下,勿叨或勿一,则
丫
在向量损失函数下也有妇的或
丫
若在向量损失函数下有一或一,则在矩阵损失函数一
丫
叨一叨‘下也有勿或勺一
丫
证以下证明对和都有效
用反证法,反设在向量损失函数下必不成立,则存在一估计’刃使对一切
任口有
,夕一、’夕一,,⋯,
且存在夕一氏,,使风。必一的凡。‘户一的在二次损失下的风险函数满足
夕一叨‘少一一‘夕一‘‘夕一
一艺尺,,一“一艺,’,一
一艺尺,一“一,‘一“
对一切夕任口,且当夕氏时不等号成立,这与估计在二次损失下容许的假设相矛盾,因而证明
了定理
的证明类似于口
注当与均为一维时,三个容许性等价,没有区别当必与均大于一维
时,定理的、分别给出了在向量损失函数下,估计的容许性的一个充分条件和一个必要条
件
引理阁在损失函数下,设,,,⋯,‘‘任丫勿为
实矩阵,估计的,则
妇是在丫中的容许估计当且仅当在平方损失函数,一‘“下,,妇是
、的在丫‘为维列向量中的容许估计,,,⋯,
户是在一切估计类中的容许估计当且仅当在平方损失函数、一、的下,
,是,的在对
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