小学奥数25完全平方数.doc

*1,2*2,3*3等等,依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式,则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9。此为完全平方数的必要不充分条件,且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数,故0是完全平方数性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数,十位数字为偶数;偶数的平方的个位数字一定是偶数。证明奇数必为下列五种形式之一:10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后,得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。证明已知m2=10k+6,证明k为奇数。因为k的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。性质4:(1)凡个位数字是5,但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;(2)末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数;100,10000,1000000是完全平方数,10,1000,100000等则不是完全平方数。(3)个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。需要说明的是:个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数,如:11,31,51,74,99,211,454,879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。但个位数字为1,4,9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如:21,44,89不是完全平方数,但49,64,81是完全平方数。性质5:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。这是因为(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1(2k)2=4k2性质6:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。性质7:完全平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1,3m+2。平方后,分别得(3m)2=9m2=3k(3m+1)2=9+6m+1=3k+1(3m+2)2=9+12m+4=3k+1同理可以得到:性质8:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数为5k型。性质9:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面以四位数为例来说明这个命题。设四位数为,则1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。对于n位数,也可以仿此法予以证明。关于完全平方数的数字和有下面的性质:性质10:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。证明因为一个