第五章定积分.doc

第五章 定积分一、定积分的概念与性质1. 定积分的定义:定积分定义的四要素:分割;作积;求和;①设在区间上连续,则在上可积.②设在区间上有界,且只有有限个间断点,①反号性:②与积分变量无关性:.③线性性质:.④对区间可加性:.⑤区间长:.⑥保号性:如果在区间上,,则.⑦单调性:如果在区间上,,:在区间上,.⑧估值定理:设和分别是函数在区间上的最大值和最小值,则.⑨定积分中值定理:如果函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使    ,个数可能为一个,:若函数在区间连续,函数在区间上可积且不变号,则在上至少存在一点,使成立⑩奇偶对称性:若在上连续,则典型例题之一:.(答案:1/2).(答案:cosa-cosb)例3 计算极限(答案:1)例4、计算极限(答案:2)例5 设, 设在上连续,且,证明:竞赛大连例7证明:若函数在上连续非负,且使,::例10填空:::设在上连续,任意取,在区间上的定积分是定义在区上的函数,记为,称为定义在上的积分上限函数或变上限函数。:(1)如果在上连续,则积分上限的函数在上具有导数,且因此积分上限的函数就是在上的一个原函数。:①。②。③④⑤当在连续且为偶函数时,为奇函数;当在连续且为奇函数时,为偶函数,且的所有原函数均为偶函数。注:积分表示自变量为的函数,因此微分学中所遇到的关于函数性质的研究完全可用到该积分中来,如研究有关积分上限函数的导数,单调性,极值,最值,极限,连续,凹凸性,拐点,方程等等。典型例题之二例1求,其中是已知的连续函数。例2 设为连续函数,求。例3 (1)求极限(2)求极限易错提醒:在求含有积分上限函数的极限时,一定要验证是不是未定式,若不是,不能应用洛必达法则。如。例4设可导,且, 求例5设, 设,试求(1)的极值,(2)曲线