第五章 定积分.ppt

第五章定积分
(Definite Integrals)
在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半
叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一
的功绩,那也就是正是在这里。
恩格斯
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七思考题与判断题
二定积分的定义
一问题的提出
四定积分的几何意义
六小结、思想方法
第一节定积分的概念
(Concept of Definite Integrals)
三定积分存在的两个充分条件
五定积分的性质
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a
b
x
y
o
1 面积问题(Area Problem)
一问题的提出(Introduction)
我们有两个问题要解决,一个是给出面积的定义,一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于,用干净利索的方法解决了这一问题,并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。
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a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.
(四个小矩形)
(九个小矩形)
解决问题的基本思路:变“曲”为“直”
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曲边梯形如图所示,
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曲边梯形面积的近似值为
曲边梯形面积为
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例2 路程问题(Distance Problem)
把整段时间分割成若干小时间段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.
对于匀速运动,我们有公式
路程=速度X时间
解决变速运动的路程的基本思路
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(1)分割
(3)作和
(4)取极限
路程的精确值
(2) 取点
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二定积分的定义 (Definition of Definite Integral)
定义
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被积函数
被积表达式
积分变量
记为
积分和
积分下限
积分上限
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