第五章 定积分的概念.ppt

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定积分的概念
前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分,系统地介绍了积分法,这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发,引出积分学的第二类基本问题——定积分,它是微分(求局部量)的逆运算(微分的无限求和——求总量),然后着重介绍定积分的计算方法,它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。
重点
定积分的概念和性质,微积分基本公式,定积分的换元法和分部积分法
难点
定义及换元法和分部法的运用
基本要求
①正确理解定积分的概念及其实际背景
②记住定积分的性质并能正确地运用
③掌握变上限定积分概念,微积分基本定理,
并会用N-L公式计算定积分,
④能正确熟练地运用换元法和分部积分法
⑤正确理解两类广义积分概念,
并会用定义计算一些较简单的广义积分。
计算定积分
实例1 (求曲边梯形的面积)
求面积问题由来已久,对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求,下图所示的图形如何求面积
将其置于直角
坐标系下考察
o
x
y
a
b
A
B
m
n
问题归结为AmBbaA与AnBbaA
的面积之差
曲边梯形
一、问题的提出
a
b
x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
a
b
x
y
o
(四个小矩形)
a
b
x
y
o
(九个小矩形)
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.
观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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曲边梯形如图所示
曲边梯形面积的近似值为
曲边梯形面积为
实例2 (求变速直线运动的路程)
思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.