22－第22讲定积分的概念.ppt

高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第二十二讲定积分的概念
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
第五章一元函数的积分
本章学习要求:
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.

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了解利用建立递推关系式求积分的方法.
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.
熟悉牛顿—莱布尼兹公式.
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能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分
表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面
的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的
弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第一节定积分的概念
第五章一元函数的积分
二. 定积分的定义
一. 曲边梯形的面积
三. 定积分的性质
第五章一元函数的积分
第一节定积分的概念和性质
在我国古代南北朝(公元 429 — 500 年)时,
南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数,算出正多边形的面积,逼近相应的圆的面积,得到了π近似值.
在初等几何中,计算任意多边形面积时,常采用如下方法:首先将任意多边形划分为若干个小三角形,分别计算各个三角形的面积,然后求和,得到任意多边形的面积。
阿基米德运用这种方法,求得抛物线与
x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.
就是说,在计算复杂图形的面积时,可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块,并分别求出各小块图形的面积,然后求和,即得到原图形的面积的近似值(边界线为直线时,可得精确值).
如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?
一. 曲边梯形的面积
曲边梯形:三边为直线,其中有两边相互
平行且与第三边垂直(底边),第四边是一条
曲线,它与垂直于底边的直线至多有一个交点
(这里不排除某直线缩成一点).
1. 曲边梯形
2. 求曲边梯形的面积
首先,我们重复阿基米德的做法:
分划—代替—求和
得到曲边梯形的近似值,然后,引入极限过程,
求出曲边梯形的精确值.
第一步:分划
任意引入分点
称为区间的一个分法 T
第二步:代替
对每个小曲边梯形均作上述的代替
第三步:求和