第五章定积分学习指导
一、基本内容
(一)定积分的定义
设在上有界,在上任意插入若干个分点,把分成个小区间,小区间的长度为(),在每个小区间上取点,,作和式
。
证,若当时,对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法,均有确定的极限I,则称在上可积,极限I为在上的定积分,记为。
即
(二)有关定积分的重要性质和定理
:
:
:若在上,则,取得若,则。
:设和是在上的最大值和最小值,则
。
:若在上连续,则,使
称为在的平均值。
设在上连续,(),则在连续、可导且,即是的一个原函数。
由此可得:若则。
(三)定积分的计算
-莱布尼兹公式:若是的一个原函数,则
:略
:
(四)广义积分
设在内连续,取若存在,则称广义积分收敛,否则为发散,同理可定义和。
设在上连续,在点的某邻域内无界,取,若存在,称广义积分收敛,否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间内部的广义积分。
二、基本要求
,了解定积分概念产生的背景;
;
,熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法;
;
,并能计算一些简单的广义积分。
三、重点与难点
:定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算;
:利用定积分的一些定义和性质来解题或证明。
四、学习中应注意的几个问题
:()由曲线及直线,和所围曲边梯形的面积,这是用定积分解决有关面积问题的基础;
。在中一般,但为讨论问题的方便,规定时,;时,;
,应将绝对值去掉,即分区间进行讨论;
,应牢记换元应换
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