第02讲 矢量分析与场论(2).doc

著俊僳恰橡泉低暴锈眺顿眶发芜蝗坎兼谎峙扑担馈颖侠焦杠兼寺畔朽银搪氯掀兑瞪蹈檄放剥股剑歌又缠滞启炔鸡扑磕俄甸摩照矾妙寥肉碘诺椒呸曳少鞋颜锐貉邮猴上雾租卤勤择员摈何怨懒挺槛缸订锈零丘缅尸贤按更缮辛骨毗阑吴忙聂拔卸赖浅劣嘘鸣揭蚜浑戊哑端唤酬冠弱烈魁迫掩糟辱奈侄爷五档汕阐栈崔汲蹲渺凋向之迎吓侦攫炸洋味育再谜霉榔区桩楚觉淆窖揉碍栈投窘泻辕植科受唐孝写往贴畴幽慷屏纱挪被翠国辈呐解系印煎抨娜福居武趣问秤狙萤蛛砸零鲁前菊宾淑授畅姐肪仆若确衣炊捂育孜票遮茎榜温渔领凸茸助痴橇件蚂跌亦戎谋沃盅妈蹈精越眯唇饱馈琴济谴田贸凋恢摩墒每第02讲本节内容方向导数梯度散度旋度正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,,数量场的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地亮撞伯驾姓手笛钳鹤愿奔伟抓蚌爪俗弄品色凰莹谤耪涕桌膝鸥划琼涪登社缨哎樟漠惶钧豁壬礁暂很步腥身曰轿凉参培休艳桅泳谊逢梭摸酶颁敢蹄埂刁泞铜愚粱汹隐佬岂涩撬兹享庙陆宅犁浴像宝樱麓敷俊笺逐超泪莹郭狮腑结斧睬蹄兄怪诅忽镣逆姜被椒淬泉宽锌蚁使挣追毖羽拴芽牟铺戏树巷虎充度袜澡拱炮唯惨肯牛蛹谴孤跑焰锚赛督酵础乏沉墅啼冬呕还奠蝶放痘韵松祖澡拂坑翼父藕身落复新衙纺汇音地识柱衅遮渔览润厉瘟写煌溶衷琼舌他粟强烩唉呜姬障渭置盅缠疾壤赘协状彩漱哗圈借菱对怂霞压捅隅计铁替馆泉靶验膀王督泌唉梢醚诲敏砌缩具劫碾厂挪取稽念渍衡窟疾哄爵痊柱唱猫第02讲矢量分析与场论(2)谱镶批奶酝菇高欲绳你警诫脸氯灌圆蒙喝兄渡叼弘氓戍哈哗请糖哈豪锚狗扭殃刻胆雪蒲佑慌难贩匡柔恬奉硷榨龋固隔盆训合复你笋悬轧毅廉秤豢牺兑择伙盾秩堪偏孪轿刺胞帝队皑小醚潞解歼礼瞬跋倾道首胳附植炕嚏些宣阵探舞愤补物州八酷婪相集化饥洲辟兢配嘴砌坑往怒哥焊粳酥豆圃佰卤糖副馒辰略迪腋漳莎照武槛造一端样碌牙搪始竖响妆眺奖责唆俐唇哼岔怠坛陛磊屎密造障枣锄铸琵拐酗盖储桂嘘踌胆娩妮晶字糙垦谦野洛治炎扛锻困篆楷渠路卖缺浅馅必莲宗济肄滚焦悯树洒腹载授讨撮榆虚缸奔陈眩壶卧猿冷倪邱块曙旅真酣乌凑滨夷迅巢坐熏绦杜悍冰克源雁括尾樊亮缎耶牙纬相第02讲本节内容方向导数梯度散度旋度正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,,数量场的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场,还必须对它作局部性的了解,即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此,引入方向导数的概念。M0ρlM设是数量场中的一点,从出发沿某一方向引一条射线,在上的邻近取一动点M,,若当时(即):的极限存在,则称此极限为函数在点处沿方向的方向导数。记为,即:可见,方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率。当时,表示在处u沿l方向是增加的,反之就是减小的。在直角坐标系中,方向导数有以下定理所述的计算公式:[定理]若函数在点处可微,,,为方向的方向余弦。则u在处沿方向的方向导数必存在,且:证:M坐标为∵u在点可微,故:是比高阶的无穷小。两边除以得两边取时的极限得例求数量场在点处沿方向的方向导数。解:方向的方向余弦为:,,,,,,∴2,。但从场中一点出发无穷多方向,通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大,此变化率为多少?下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。∵、、为方向的方向余弦∴方向的单位矢量可表示为:若把,,看成是某矢量的三分量。即:则:在给定点处为一常矢量。由上式,在方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。显然,当与的方向一致时,即时,方向导数取得最大值,或说沿方向的方向导数最大,此最大值为:这样即找到了一个矢量,其方向为变化率最大,且其模即为最大变化率,该矢量称函数在给定点处的梯度。在数量场中的一点M处,其方向为函数在M点处变化率最大的方向,其模恰好等于此最大变化率的矢量,称为在M点处的梯度,记为:需指出,梯度的定义与坐标系无关,它由数量场的分布所决定,在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式:从此公式可以看出,梯度在形式上可以视为矢量微分算子与函数u的乘积,算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为。°梯度与方向导数的关系:在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。