第五章+++相似矩阵学习指导.doc.doc

:1、向量的内积2、方二阵的特征值与特征向量3、相似矩阵4、对称矩阵的对角化一、学习本章的基本要求1(掌握向量的内积、长度、正交等概念。2(掌握线性无关向量组的正交化、单位化的施密特正交化过程。3(掌握矩阵的特征值和特征向量的概念,并会其求法。4(掌握矩阵相似的概念及性质,知道矩阵可对角化的充分必要条件,并掌握利用正交阵化对称阵为对角阵。本章重点:矩阵的特征值和特征向量;利用正交阵化对称阵为对角阵。本章难点:施密斯正交化过程;矩阵的特征值和特征向量二、学习中应注意的问题?.本章主要介绍了矩阵间的一种关系――相似关系-,如果存在n阶可逆阵P,PAP=B,则称A与B相似。矩阵相似关系具有以下性质:(1)反身性:A~A;B,则B,A;(2)对称性:若A,(3)传递性:若A~B、B,C,则A,:如果方阵A与B相似,则(1)方阵A的行列式与B的行列式相等,即|A|=|B|;mm-1mm(2)A与B相似,即PAP=B;(3)A的特征多项式与B的特征多项式相等。即,从而有相|A,,E|,|B,,E|同的特征值;(4).Tr(A),Tr(B)注:对角矩阵的特征值为对角线元素。-1,,希望求出可逆矩阵P,使PAP=为对角阵,但是并非任何矩阵都能与对角阵相似。为了推出矩阵与对角阵相似的条件。本章介绍了特征值与特征向量的概念,并讨论了它们的重要性,由此推得方阵A与对角阵相似的条件如下:(1)n阶方阵A相似与对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量;(2)如果n阶方阵A有n个不同的特征值,则A必相似于对角阵。?.,可分为以下三步:(1)计算方阵A的特征多项式f(A),|A,,E|(2)求出方阵A的特征方程的全部根,它们是A的全部特征值;f(A),|A,,E|,0(3)把不同的特征值逐个代入齐次线性方程组得到(A,,E)x,0,(A,,E)x,0ii解此齐次线性方程组,求出其基础解系,即为特征值的一组线性p,p,?,p,i12n,r无关的特征向量,而属于的全部特征向量为:,ikp,kp,?,kp,(k,k,?,k,R且不全为零)1122n,rn,r12n,:设A为对称-1,阵,则必存在正交阵P,使PAP=A为对角阵,可分如下四步:(1)求出A的全部特征值;,,,,?,,12t,(j,1,2,?,t)r,(2)对每一个特征值,求其个线性无关的特征向量(是Ajjj,的特征方程的r重根,即的代数重数为r)jjjtp,p,?,p,(j,1,2,?,t,r,n),12jjjrjj,1jp,p,?,p(3)用施密特正交化方法,将正交化、单位化,得正交单位向量j1j2jrjt,组:它们是A的属于特征值的正交单位特e,e,?,e,(j,1,2,?,t,r,n)rj,12jjjrjj,1j征向量;-1,(4)以此n个正交单位特征向量构造矩阵P,则P是正交阵,且PAP=为对角,,diag(,,?,,,,?,,,,?,,)阵,其中1122tt,注:构造出的正交矩阵并不唯一。由于属于一个特征值的线性无关的特征向量i(A,,E)x,0是齐次线性方程组的一个基础解系,