单调性、奇偶性函数问题的方法(2.doc

NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,(七)题目高中数学复习专题讲座处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法(2)高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识重难点归纳(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的训练认真体会,用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性问题的解决关键在于既把握复合过程,又掌握基本函数(2)加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力(4)应用问题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决特别是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题典型题例示范讲解例1已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减命题意图本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得技巧与方法对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点证明(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0∴f(x)=-f(-x)∴f(x)为奇函数(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0,即f(x2)<f(x1)∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0∴f(x)在(-1,1)上为减函数例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间命题意图本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法知识依托逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题错解分析逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱技巧与方法本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,