函数的单调性.docx

函数的单调性一、函数单调性的的判断方法除了用差分法(又称定义法)判断函数的单调性外,常用的方法还是有以下几种:直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性,直接判断函数的单调性,并写出它们的单调区间,熟记以下几种函数的单调性:正比例函数ykx(k0):○当时,函数ykx在定义域○当时,函数ykx在1k0R上是增函数;2k0定义域R上是减函数.(2)反比例函数yk(k0):○xk的单调递减区间是(当k0时,函数y,0),(0,),不存在单调递增区1x○k0k间;2当时,函数y的单调递增区间是(,0),(0,),(k0):○1当k 0时,函数 y kx b在定义域 R上是增函数; ○2当k 0时,函数kxb在定义域R上是减函数.(4)二次函数yax2bxc(a0):○1当a0时,函数yax2bxc的图像开口向上,单调递减区间是(,b],2a单调递增区间是[b,);○2当a0时,函数yax2bxc的图像开口向下,单2a调递增区间是(,b],单调递减区间是[b,).2a2a注意:yf(x)x3在定义域R上是增函数,其图像如右图:图像法画出函数图象,(1)函数f(x)与af(x),当a 0时有相同的单调性,当a 0时有相反的单调性;如函数 f(x) x与 3f(x) 3x的单调性相反,函数f(x)x与3f(x)3x的单调性相同;(2)当函数f(x)恒为正(或恒为负)时f(x)与1有相反的单调性,如:函f(x)数f(x)1(x(,0))是递增函数,则11x在区间(,0)是递减函0f(x)1x数;x(3)若f(x)0,则f(x)与f(x)具有相同的单调性,如:函数f(x)2x23x4,在定义域R上,f(x)0,且f(x)是(,3]上的递减函数,是[3,)上的递增函44数,所以函数f(x)2x23x4是(,3]上的递减函数,是[3,)上的递增44函数;(4)若f(x),g(x)的单调性相同,则f(x)g(x)的单调性与f(x),g(x)(x)x21x1,令f(x)x,g(x)1,即xxxF(x) f(x) g(x),因为函数f(x)在R上单调递减,g(x)的单调递减区间是(,0),(0,),所以函数F(x)x21x1的单调递减区间是xx(,0),(0,);(5)若f(x),g(x)的单调性相反,则f(x)g(x)的单调性与f(x)(x)与f(x)的单调性相同,所以f(x)g(x)的单调性与f(x)、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数,我们称为抽象函数,判断抽象函数单调性是一类重要的题型,(0,)上的函数f(x)对任意x,y(0,),恒有f(xy)f(x)f(y),且当0x1时f(x)0,判断f(x)在(0,),xh(0,),h0()()(xh)f[x(xh)],则fxhfxfxhx)f(xh)]f(x).f(xh)[f(xhxh0x1,f(x)0,f(x)0,f(xh)f(x)0,所以函数x hx hx hf(x)在(0,)上的单调递减.二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数y f(g(x))的单调性的步骤:(1)求出函数的定义域;(2) 明确构成复合函数的简单函数(所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数):y f(u),u g(x);(3) 确定简单函数的单调性;(4) 若这两个函数同增或同减(单调性相同),则y f(g(x))为增函数;若这两个函数一增一减(单调性相异)则 y f(g(x))为减函数简记为“同增异减” .如下表所示:函数g(x)yf(u)复合函数yf(g(x))u单调增增增性减增减增减减减减增实例2求函数f(x)x23x4在定义域上的单调区间解:由解析式得x23x404或x1}.令,即函数的定义域为{x|xtx23x4,,而tx23x4在(,4]上是减函数,在[1,)上是增函数,函数f(x)x23x4的递增区间为[1,),递减区间为( ,4].三、 单调性的应用用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小,即已知函数f(x)在定义域的某个区间上为增函数,若对区间内的任意两个值x1,x2且x1x2,则f(x1)f(x2).(x)在[0,)上是减函数,试比较f(3)与f(a2a1),3与a2解:a2a1(a)2a1都在区间[0,)yf(x)在区间[0,)上是减函数,f(3)4f(a2a 1).注意:解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是