正弦余弦定理证明教案.doc

---------------------------------作者:_____________-----------------------------日期::_____________正弦余弦定理证明教案正弦余弦定理证明教案【基础知识精讲】、三角形面积公式正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:===:S△=bcsinA=absinC=:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=,sinB=,sinC=.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:,,,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.①A为锐角时②A为直角或钝角时.(2)正弦定理,:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、△ABC中,有a2=b2+c2-osA;b2=c2+a2-osB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式:cosA=,cosB=,cosC=在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解),这个过程叫做解三角形,,须注意的三角关系式:A+B+C=π0<A,B,C<πsin=sin=cossin(A+B)=sinC特别地,在锐角三角形中,sinA<cosB,sinB<cosC,sinC<cosA. 【重点难点解析】掌握正、余弦定理,  在△ABC中,已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、:由正弦定理=及A=2C得=,即=,∴cosC=.由已知a+c=8=2b及余弦定理,得cosC====.∴=,整理得(2a-3c)(a-c)=0∴a≠c,∴2a=3c.∵a+c=8,∴a=,c=.例2  在△ABC中,如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B为锐角,:∵lga-lgc=lgsinB=-lg,∴sinB=又∵0°<B<90°,∴B=45°由lga-lgc=-lg,得= .由正弦定理得= .即2sin(135°-C)= sinC即2[sin135°cosC-cos135°sinC]=sinC.∴cosC=0,得C=90°又∵A=45°,∴B=45°从而△  如图已知:平行四边形两邻边长为a和b(a<b),两对角线的一个交角为θ(0°<θ<90°),求该平行四边形的面积. 分析:由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角,再考虑到平行四边形的面积是△AOB的四倍,因此只要求OA·OB·:=a,BC=b,∠AOB=θ,又设OA=x,OB=△AOB中,应用余弦定理可得:a2=x2+y2-2xycosθ                ①在△BOC中,应用余弦定理可得:b2=x2+y2-2xycos(180°-θ)        ②由②-①得:b2-a2=4xycosθ∵0°<θ<90°,∴xy= (b>a)∴S□=4S△AOB=2xysinθ=tanθ例4  在△ABC中,已知4sinBsinC=1,b2+c2-a2=bc,且B>C,求A、B、:由于题设条件b2+c2-a2=bc十分特殊,将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°,于是再利用条件4sinBsinC=1,:由余弦定理cosA===.又∵0°<A<180°∴A=60°∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1∴4sinBsin(120°-B)=1∴4sinB(cosB+sinB)=1∴sin2B+2sin2B=1∴sin2B=cos2B∴tan2B=,∴2B=30°或2B=210°由于B+C=120°,且B>C,60°<B<120°∴2B=210°,∴B=105°,从而C=15°∴A=60°,B=105°,C=15°例5  已知△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且a+c=2b,A-C=,:由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB,由和差化积公式得2sin·cos=2si