目录狄拉克算符定义一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基矢,即选定表象后,态矢量可以用在这组基矢上的投影(即矢量的分量)表示,这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐标系不用它的分量而直接用矢量表示相似,在量子力学中表示一个量子态也可以不引进具体的表象,直接用矢量符号表示。这就是狄拉克符号(Diracbracketnotation)。一、右矢和左矢如:表示坐标的本征态,对应的本征值为;表示动量的本征态,对应的本征值为;或表示能量的本征态,对应本征值为;表示和的本征态;右矢空间中矢量A写成,左矢空间的矢量B写成。,态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。力学量算符满足的本征方程为或或代表对应的本征态。,左矢空间中的任意态矢可以表示成若干个左矢叠加,即但右矢和左矢不能叠加。:和都没有意义。因为另一方面所以二、标量积和基矢组和的标量积定义为标量积是一个数,可以在运算中随意移动位置。在同一表象中,和的标量积是相应的分量的乘积之和。比如:。正交归一性比如完备性上式两边左乘,则所以,展开系数又因此比如引入算符因为显然,该算符对任何矢量的运算,相当于把这个矢量投影到基矢上去,使它变成在基矢方向上的分量。所以此算符称为投影算符。三、算符的狄拉克符号表示在表象下显然有即其中,为算符在表象中的矩阵元。特别地,在自身表象中的矩阵元四、本征方程的狄拉克符号表示的本征方程它在表象中的表示即这就是的本征方程的狄拉克符号表示。
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