证明或判断等差(等比)数列的常用方法.doc

证明或判断等差(等比)数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?(等比)数列的定义在数列中,若(为常数)或(为常数),则数列为等差(等比)(等比):例1.(2005北京卷)设数列的首项,且,记.(Ⅰ)求;(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,:(Ⅰ);(Ⅱ),所以,所以,猜想::因为所以是首项为,:此题并不知道数列的通项,先写出几项然后猜测出结论,再用定义证明,这是常规做法。 例2.(2005山东卷)已知数列的首项,前项和为,且(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)略. 解:由已知可得时两式相减得:,即,从而,当时,,所以,又,所以,,又,:这是常见题型,由依照含的式子再类似写出含的式子,得到的形式,,:用定义法时常采用的两个式子和有差别,前者必须加上“”,否则时无意义,等比中一样有:时,有(常数);②时,有(常数). 是等差数列,是等比数列,这是证明数列为等差(等比)数列的另一种主要方法. 例3.(2005江苏卷)设数列的前项为,已知,且其中为常数.(1)求与的值;(2)证明数列为等差数列;(3):(1)由,得. 把分别代入,得解得,,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,即, ①又. ②②-①得,,即. ③又. ④④-③得,,∴,∴,又,因此,数列是首项为1,:此题对考生要求较高,通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算. 例4.(高考题改编)正数数列和满足:对任意自然数成等差数列,:数列为等差数列. 证明:依题意,,且, . . . 数列为等差数列. 评析:本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决. 这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“时命题成立”到“时命题成立”.(2004全为,已知,.证明::由,,知,,猜测是首项为1,:令.(1)当时,,成立.(2)当时,,,,,,.(2005浙江卷)设点和抛物线其中,由以下方法得到:,点在抛物线上,点到的距离是到上点的最短距离,,点在抛物线上,点到的距离是到上点的最短距离.(1)求及的方程.(2):(I)由题意得:.设点是上任意一点,则令则由题意:即又在上,解得:,故方程为(II)设点是上任意一点,则令,,即又即(*)下面用数学归纳法证明①当时,等式成立.②假设当时,等式成立,即则当时,由(*)知又即当时,①②知,:例5是常规的猜想证明题,考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法;例6是个综合性比较强