高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题).doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点。一、直接法(公式法)求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,:球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,,若该正方体的表面积为,、求长方体的外接球的有关问题例3(2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为,:体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为,、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为(C).:长、宽、高分别为2,2,,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,,高为,则有∴正六棱柱的底面圆的半径,球心到底面的距离.∴外接球的半径..小结本题是运用公式求球的半径的,、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,,.∴.,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,,“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(A):联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体,如图2,四面体满足条件,由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为,从而外接球的直径也为例7(2006年山东高考题)在等腰梯形中,,,为的中点,将与分布沿、向上折起,使重合于点,则三棱锥的外接球的体积为(C).:(如图3),即三棱锥为正四面体,至此,这与例6就完全相同了例8(2008年浙江高考题)已知球的面上四点A、B、C、D,,,,:,则此长方体为正方体,所以长即为外接球的直径,.(如图4)图42、、B、C、D在同一个球面上,,,若,:构造下面的长方体,于是为球的直径(如图5),点都在同一球面上,.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,,由,得.∴.∴是外接圆的半径,,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积为(C),即点为四面体的外接球的球心,.故.【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且,,,,求球的体积。解:所以知所以取斜边的中点,即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为1.(陕西理•6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是() ,若,,则此球的表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,,若两点的球面距离为,,【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形,所以由知,,则此球的直径为,故选A。,那么正方体的棱长等于().(2006山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()∶∶∶∶9答案C7.(2008海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面