探究关于勾股定理的那点事.doc

探究:关于勾股定理的证明的那点事在我方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理,这个定理在中国又称为“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯定理”(PythagorasTheorem)。数学公式中常写作a2+b2=c2 勾股定理(又称商高定理,毕达哥拉斯定理)是一个基本的几何定理,早在中国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。勾股定理指出: 直角三角形两直角边(即“勾”“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说, 设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么 a^2+b^2=c^2(为了编辑省时,以下“a2”用“a^2”代替) 勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。我国古代著名数学家商高说:“若勾三,股四,则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。由于方程中含有3个未知数,故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式: a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2+n^2 (m>n,m,n为正整数)推广 1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量,将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影,则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即,向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a^2+b^2=c^2;;即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a,b,c满足a^2+b^2=c^2;,还有变形公式:AB=根号(AC^2+BC^2),如:一条直角边是3,另一条直角边是4,斜边就是3×3+4×4=x×x,x=5。那么这个三角形是直角三角形。(称勾股定理的逆定理)勾股定理的来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。毕达哥拉斯在中载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。常用勾股数(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17)毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。毕达哥拉斯树又因为重复数次后的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论: 三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。常见的勾股数顺序:勾,股,弦 3,4,5 6,8,10 5,12,13 7,24,25 8,15,17 9,40,41勾、股、弦的比例 1:√3:2勾股数的介绍①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。(9-1),(9+1)(25-1),(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。例一设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解。例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。例二再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以