求指数曲线k值的差分近似法和积分近似法.doc

求指数曲线k值的差分近似法和积分近似法        摘要利用指数曲线是一阶线性微分方程的解,分别利用差分方程和积分方程逼近微分方程,在最小二乘意义下拟合差分方程和积分方程,求得k值,再将指数曲线线性化,在最小二乘法意义下求解其它参数,用此法求得的k值克服了目测法求k值的盲目性,改进了拟合效果,同时指出积分近似法和差分近似法有较好的稳健性。关键词指数曲线差分方程积分方程最小二乘法中分类号::1004-4337(2000)02-0107-02 指数曲线亦称生长曲线,在医学领域应用十分广泛,一般情况下,指数曲线可以表示为: y=k+aerx (1) 通常,人们通过目测法,经反复尝试得到k,再用最小二乘法或直接用目测法求指数曲线参数,但这常给实际工作带来不便,且有一定的盲目性和人为偏差。对此,作者讨论一种求k值的差分近似法和积分近似法。1 基本原理式(1)实际是微分方程 y=ry+w (2)的解,其中w=kr 现有实验数据{xi,yi},i=1,2,…,n,试用式(1)来拟合,根据微分和积分的定义,分别用差分和积分方程近似逼进原方程。 差分近似法根据微分定义,有: yi=(yi-yi-1)/△xi (3)其中△xi=xi-xi-1 将(3)式代入(2)式后,化简后有: yi=(r△xi+1)yi-1+w△xi i=2,3,…,n (4) 当在最小二乘法意义下拟合(4)式时,即求解r和w,使得(5)达到最小。根据数学分析中的结果,(5)式取得最小值必有下式成立: 求解方程组,有(6)其中, 当△xi相等时,k,A中的△xi可约去,形式更简洁。利用(6)式求得k后,即可将(1)式线性化,再利用最小二乘法解出a,r。 积分近似法根据积分定义,(2)式可写为: (7) 利用梯形公式近似逼近(7)式右侧积分,化简后可得下式: (8) 在最小二乘意义下,(8)式的目标函数为: (9) 求r,w使(9)式达到最小,故有: (10)其中, 利用(10)式求得k后,将曲线线性化后,再在最小二乘意义下拟合线性化的直线形式,即可求得a,r。