第六章定积分.doc

第六章定积分一、本章学习要求与内容提要(一),,牛顿–莱布尼茨公式,,牛顿–莱布尼茨公式,,定积分的换元法和分部积分法.(二)、(1)定积分的概念设函数在区间上有定义,任取分点,把区间分成个小区间,记为,再在每个小区间上,任取一点,取乘积的和式,(即这个极限值与的分割及点的取法均无关),则称函数在闭区间上可积,并且称此极限值为函数在上的定积分,记做,即,其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分区间,与分别称为积分下限与积分上限,:①定积分是特定和式的极限,、积分上限,而与积分变量采用什么字母无关,例如,一般地有=.②定积分的存在定理:如果在闭区间上连续或只有有限个第一类间断点,则在上可积.(2)定积分的几何意义设在上的定积分为,其积分值等于曲线、(1)积分对函数的可加性,即,可推广到有限项的情况,即.(2)积分对函数的齐次性,即.(3)如果在区间上,则.(4)(积分对区间的可加性)如果,:对于三点的任何其他相对位置,上述性质仍成立,仍有.(5)(积分的比较性质)如果在区间上有,则.(6)(积分的估值性质)设与分别是函数在闭区间上的最大值与最小值,则.(7)(积分中值定理)如果函数在闭区间上连续,则在区间上至少存在一点,(1)变上限的定积分当在上变动时,对应于每一个值,积分就有一个确定的值,因此是变上限的一个函数,记作,称函数为变上限的定积分.(2)变上限的定积分的导数如果函数在闭区间上连续,则变上限定积分在闭区间上可导,并且它的导数等于被积函数,,任取实数,把极限称为函数在无穷区间上的广义积分,记做,若极限存在,则称广义积分收敛;若极限不存在,,,其中为任意实数,当右端两个广义积分都收敛时,广义积分才是收敛的;(牛顿-莱布尼茨公式)设函数在闭区间上连续,如果是的任意一个原函数,则,以上公式称为微积分基本定理,又称牛顿–(1)定积分的换元法设函数在上连续,令,则有,其中函数应满足以下三个条件:①;②在上单值且有连续导数;③当在上变化时,:用变换把原来的积分变量换为新变量时,原积分限也要相应换成新变量的积分限,也就是说,,原下限对应新下限.(2)定积分的分部积分公式设函数在区间上均有连续导数,,其方法与不定积分类