相似矩阵的基本知识点:首先了解相似矩阵的由来,因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同,我们就要考虑它们之间是不是有联系,这就引入了相似矩阵的概念。定义(定理):设线性空间V中线性变换A在两组基和下的矩阵分别为A和B,从到的过渡矩阵是X,于是。我们就称矩阵A和矩阵B是相似的。相似是矩阵间的一种关系,具有三种特性:反身性:即A与它自身是相似的。对称性:即A与B相似,则称B与A相似。传递性:即A与B相似,B与C相似,则称A与C相似练习:1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式?证明:设A与B相似,则有可逆矩阵P,使得于是。这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。但这些矩阵有相同的特征多项式,故是由线性变换确定的。由此称为线性变换的特征多项式。2相似矩阵有相同的特征多项式证明:设,即有可逆矩阵X,使得,于是3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
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