高中数学数形结合.docx

数形结合实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。一、联想图形的交点如等式(x 2)2 (y 1)2 ,则方程a|x||logax|的实根个数为():判断方程的根的个数就是判断图象 y a|x|与y |logax|的交点个数,画出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有 2个实根,选( B)。 x 2,y2 x,则不等式 x 2 x的解,就是使 y1 x 2的图象在y2x的上方的那段对应的横坐标,如下图,不等式的解集为{x|xAxxB}而xB可由x2x,解得,xB2,xA2,故不等式的解集为{x|2x2}。练习:设定义域为R函数f(x)lgx1x1,则关于x的方程f2(x)bf(x)c0有7个不同0x1实数解的充要条件是(),,,,c0答案C二、联想绝对值的几何意义例1、已知c0,设P:函数ycx在R上单调递减,Q:不等式xx2c1的解集为R,如果P与Q有且仅有一个正确,试求c的范围。因为不等式xx2c1的几何意义为:在数轴上求一点P(x),使P到A(0),B(2c)的距离之和的最小值大于1,而P到AB二点的最短距离为AB2c1,即c1而P:函数ycx在R上单调递减,即c12由题意可得:0c1或c12三、联想二次函数1例1、已知关于x的方程x2 4x 5 m有四个不相等的实根,则实数 m的取值范围为分析:直接求解,繁难!。由方程联想二次函数进行数形结合,以数助形,则简洁明了。设y1x24x5,y2m。又y1为偶函数,由图可知1m5四、联想反函数的性质例1、方程2xx3,log2xx3的实根分别为12,则12=x,xxx解:令yxyxyx12,2log2,33y1,y2互为反函数,其图象关于 y x对称,设A(x1,3x1),B(x2,3x2)x13x2即x1x23六、。cosx2sinx2的形式类似于斜率公式yy2y1y2x2x1cosxysinx2表示过两点P0(2,2),P(cosx,sinx)的直线斜率cosx2由于点P在单位圆x2y21上,如图,显然,kPAykPB00设过P0的圆的切线方程为y2k(x2)则有|2k2|1,解得k4±7即kPA47,kPB47333k2100∴47y437∴函数值域为[437,437]3例2、实系数方程x2ax2b0的一根在b2的取值范围。0和1之间,另一根在1和2之间,求1解:数形结合由b2的结构特征,联想二次函数性质及b2的几何意义来求解,a以形助数,则简洁明了。a1a1f(0)0b0令f(x)x2ax2b,则由已知有f(1)0得到1a2b0f(2)02ab0这个二元一次不等式组的解为ABC内的点(a,b)的集合由b2的几何意义为过点a12(a,b)和点D(1,2)的直线的斜率由此可以看出:1kADb2kBD1b2的取值范围是(1,1)。4a1即a14练习:如果实数x、y满足(x2)2y23,则y的最大值为()、联想两点间的距离公式例、设f(x)1x2,a,bR且ab,求证:f(a)f(b)ab1解:ab,不妨设ab,构造如图的RtOAP,其中OP1,OAa,OBb则PA1a2f(a),PB1b2f(b),ABab在RtOAP中,有PAPBABf(a)f(b)ab六、联想点到直线的距离公式例1、已知P是直线3x4y80上的动点,PA,PB是x2y22x2y10的两条切线,A,B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值。解:SPACB2SPAC21PAACPAPC212要使面积最小,只需PC最小,即定点C到定直线上动点P距离最小即可即点C(1,1)到直线3x4y80的距离,而d314283(SPACB)min321223242七、联想函数奇偶性例1、设yf(x)是定义在R上的奇函数,且yf(x)的图象关于直线x1对2称,则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)解:本题由于 y f(x)不明确,故 f(x)的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质,数形结合,以数助形来解决,则简洁明了。则可知f(0)0,又且yf(x)的图象关于直线x1f(1)0对称,2则奇函数可得:f(1)0,则又由对称性知:f(2)0同理:f(3)f(4)f(5)0f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)03八、其它简单方法:,求k的取值范围。解:令()