§ 二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。讨论中,我们假定;假定积分区域可用不等式表示,其中,在上连续。据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有(1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果(它是的函数)再对从到计算定积分。这个先对,后对的二次积分也常记作在上述讨论中,假定了,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。例如:计算解:类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)显然,(2)式是先对,后对的二次积分。二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域,用平行于轴(轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。2、积分限的确定二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。画出积分区域的图形(假设的图形如下)在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。类似地,【例2】计算,其中是由抛物线及直线所围成的区域。【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。解:1、作出该立体的简图,并确定它在面上的投影区域消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
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