数学解题方法和思维.doc

数学思维的反思性一、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设,获得独特的解决问题的方法,它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练,培养他们的创造性思维。二、思维训练实例(1)检查思路是否正确,注意发现其中的错误。例1已知,若求的范围。错误解法由条件得②×2-①得①×2-②得+得错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数,其值是同时受制约的。当取最大(小)值时,不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有解得:把和的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。证明勾股定理:已知在中,,求证错误证法在中,而,,即错误分析在现行的中学体系中,这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论,作为推理的前提条件,叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的,而且不易发觉。因此,在学习中对所学的每个公式、法则、定理,既要熟悉它们的内容,又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误,正是思维具有反思性的体现。(2)验算的训练验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算,可以检查解题过程的正确性,增强思维的反思性。已知数列的前项和,求错误解法错误分析显然,当时,,错误原因,没有注意公式成立的条件是因此在运用时,必须检验时的情形。即:实数为何值时,圆与抛物线有两个公共点。错误解法将圆与抛物线联立,消去,得①因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得解之,得错误分析(如图2-2-1;2-2-2)显然,当时,圆与抛物线有两个公共点。xyO图2-2-2xyO图2-2-1要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时,得解之,得因此,当或时,圆与抛物线有两个公共点。思考题:实数为何值时,圆与抛物线,有一个公共点;有三个公共点;有四个公共点;没有公共点。养成验算的习惯,可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方程、无理不等式;对数方程、对数不等式时,由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化,这样就有可能产生增根或失根,因此必须进行检验,舍弃增根,找回失根。(3)独立思考,敢于发表不同见解受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己的看法,这不利于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极地独立思考,敢于对题目解法发表自己的见解,这样才能增强思维的反思性,从而培养创造性思维。30支足球队进行淘汰赛,决出一个冠军,问需要安排多少场比赛?解因为每场要淘汰1个队,30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。思路分析传统的思维方法是:30支队比赛,每次出两支队,应有15+7+4+2+1=29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和,考虑到每场比赛淘汰1个队,要淘汰29支队,那么必有29场比赛。解方程考察方程两端相应的函数,它们的图象无交点。所以此方程无解。例7设是方程的两个实根,则的最小值是()思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得:有的学生一看到,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根,当时,的最小值是8;当时,的最小值是18;这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。数学思维的严密性二、概述在中学数学中,思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则,考察问题时严格、准确,进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学,论证的严密性是数学的根本特点之一。但是,由于认知水平和心里特征等因素的影响,中学生的思维过程常常出现不严密现象,主要表现在以下几个方面:概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念,搞清概念的内涵和外延,为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱,产生错误。判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中,如果概念不清,很容易导致判断错误。例如,“函数是一个减函数”就是一个错误判断。推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的,推理出错,说明思维不严密。例如,解不等式解或这个推理是错误的。在由推导时,没有讨论的正、负,理由不充分,所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有