拉格朗日余项估计.doc

拉格朗日余项估计本科毕业论文(设计)(2010届)论文题目:拉格朗日余项估计指导老师:学生姓名:学号:院(系):数学学院专业:数学与应用数学毕业时间:2010年6月摘要利用经典steffensen不等式一般形式给出泰勒公式中拉格朗日型余项的一种估研究了拉格朗日型余项估计中的估计问题,获得了它的一个渐进估计。计。,关键词泰勒公式,steffensen不等式,拉格朗日型余项,,Lagrangeandobtainsit’sasymptoticestimation。KeywordsTaylor’sformula,remainderofLagrange,steffenseninequality,asymptoticestimation3拉格朗日余项估计引言对于一些比较复杂的函数,为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达。多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加,减,乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近。英国数学家泰勒在这方面做出了n不朽的贡献。其研究结果表明:具有直到阶导数的函数在一个点的领域内的n值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达。泰勒公式如果函数在处可微,我们有xf0fxfxfxxxoxxxx,,,,,,',,,,,,,,,,,,那么上述公式就没有任何意义。xx,0因此自然会提出这样的问题:在存在的条件下,能不能用的fx''fxxx,,,,,002一个二次多项式来近似,并使得其误差当时是比xx,高级的无穷xx,,,,把这一要求用公式写出来,就是221fxABxxCxxoxxxx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0000其中是三个常数。如果这个要求能被满足,我们问这三常数和该ABC,,AB,C如何确定,首先,令得出xx,0Afxfx,,lim.,,,,0xx,0在这样的条件下,把改写为1,,fxfx,,,,,0,,,,,,BCxxoxxxx,.,,,,000xx,0在上式双方令xx,,由于在x可导,得f00fxfx,,,,,0lim'.Bfx,,,,0xx,0xx,04为了求出,注意到Cfxfxfxxx,,,',,,,,,,,000C,,0xx,,,0对上式右边用洛必达法则,得fxfxfxfx'''',,,,,,,,,,100C,,,,0022xxxx,,,,00由于存在,可见fx'',,01Cfx,''.,,02到此为止,我们证明了只有唯一的一个二次多项式,即122fxfxxxfxxx,,,,''',,,,,,,,,,,,000002才能满足的要求。是不是多项式确实满足式的要求呢,答案是肯定211,,,,,,的,这事因为使用一次洛必达法则便得出12,,fxfxfxxxfxxx,,,,,''',,,,,,,,,,,,,,000002,,lim2xx,0xx,,,0fxfxfxxx'''',,,,,,,,,,,000,limxx,02xx,,,0,,fxfx'',,,,,10,,lim''fx,,,,0xx,02xx,0,,1,,,,fxfx''''0,,,,,,002所以式成立。1,,定义设函数在点有直到阶的导数,这里是任意给定的正整数。令xfnn0n,,'"fxfxfx,,,,,,2n000,Txfxxxxxxx,,,,,,,,…,,,,,,,,,,n00001!2!!n并称之为在点处的次泰勒(Taylor)多项式,的各项系数Txfxn,,n0k,,fx,,0称为泰勒系数。1,2,,kn,,,!k定理1若函数在点x存在直至阶导数,则有fn05n,fxTxoxx,,,,,,,,,,,n0即n,,'"fxfxfx,,,,,,2n000+,fxfxxxxxxx,,,,,,,…,,,,,,,,,,00001!2!!nn。3oxx,,,,,,,0证设nRxfxTxQxxx,,,,,,,,,,,,,,,0nnn现在只要证Rx,,nlim0,,xx0Qx,,n易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶fxTxxn,,,,n0导数值。即kk,,,,fxTxkn,,,0,1,2,,,,,,00n因此,可得到,n,,'RxRxRx,,,,0,,,,,,,nnn000并易知nn,1,,,,'QxQxQxQxn,,,,,0,!,,,,,,,,nnnn0000n,,因为fx存在,所以在点的