曲线积分与曲面积分.doc

,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。。,会求全微分的原函数。、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,了解高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。,并会计算。6会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。:1、两类曲线积分的计算方法;2、格林公式及其应用;3、两类曲面积分的计算方法;4、高斯公式、斯托克斯公式;5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系;2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分;4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分;5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。?:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上~已知曲线形构件在点(x~y)处的线密度为,(x~y),求曲线形构件的质量,把曲线分成n小段~,s~,s~,,,~,s(,s也表示弧长),12ni任取(,~,),,s~得第i小段质量的近似值,(,~,),s,iiiiiin整个物质曲线的质量近似为M,,(,,,),s,,iiii,1-1-高等数学教案第十章曲线积分与曲面积分令,,max{,s~,s~,,,~,s},0~则整个物质曲线的质量为12nnM,lim,(,,,),s,,iii,,0i,1这种和的极限在研究其它问题时也会遇到,定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧~函数f(x~y)在L上有界,在L上任意插入一点列M~M~,,,~,s~又(,~,)为第i个小段12n,1iiin上任意取定的一点~作乘积f(f(,,,),s~),s~(i,1~2~,,,~n)~并作和~如果当各小,,iii,iiii,1弧段的长度的最大值,,0~这和的极限总存在~则称此极限为函数f(x~y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分~记作~即f(x,y)ds,Lnf(x,y)ds,limf(,,,),s,,iii,L,,0i,1其中f(x~y)叫做被积函数~L叫做积分弧段,设函数f(x~y)定义在可求长度的曲线L上~并且有界,将L任意分成n个弧段:,s~,s~,,,~,s~并用,s表示第i段的弧长,12nin在每一弧段,sf(,,,),s上任取一点(~)~作和,,,iii,iiii,1令,,max{,s~,s~,,,~,s}~如果当,,0时~这和的极限总存在~则称此极限为函数12nf(x~y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分~记作~即f(x,y)ds,Lnf(x,y)ds,limf(,,,),s,,iii,L,,0i,1其中f(x~y)叫做被积函数~L叫做积分弧段,曲线积分的存在性:当f(x~y)在光滑曲线弧L上连续时~对弧长的曲线积分f(x,y)ds是存在的,以后我们总假定f(x~y)在L上是连续的,,L根据对弧长的曲线积分的定义~曲线形构件的质量就是曲线积分,(x,y)ds的值~其,L中,(x~y)为线密度,-2-高等数学教案第十章曲线积分与曲面积分nf(x,y,z)ds,limf,(,,,,),s对弧长的曲线积分的推广:,,iiii,,,,0i,1如果L(或,)是分段光滑的~则规定函数在L(或,)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和,例如设L可分成两段光滑曲线弧L及L~则规定12,f(x,y)ds,f(x,y)ds,f(x,y)ds,,,L,LLL1212闭曲线积分:如果L是闭曲线~那么函数f(x~y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作,f(x,y)ds,L对弧长的曲线积分的性质:性质1设c、c为常数~则12,[cf(x,y),cg(x,y)]ds,cf(x,y)ds,cg(x,y)ds1212,,,LLL性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L和L~则12f(x,y)ds,f(x,y)ds,f(x,y)ds,,,,LLL12性质3设在L上f(x~y),g(x~y)~则f(x,y)ds,g(x,y)ds,,,LL特别地~有|f(x,y)ds,||f(x,y)|ds,,LL二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义~如果曲线形构件L的线密度为f(x~y)~则曲线形构件L的质量为,f(x,y)ds,L另一方面~若曲线L的参数方程为x,,(t)~y,,(t)(,,t,,)~则质量元素为22,,~f(x,y)ds,f[,(t),,(t)],(t),,(t)dt曲线的质量为-3-高等数学教案第十章曲线积分与曲面积分,22,,,,f[(t,),(t)],(t