构造法之构造几何图形.doc

构造法之构造几何图形构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质,构造满足条件或结论的数学对象,并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题,关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,进行构造,往往能促使问题转化,使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来,从而恰当地构造数学模型,进而谋求解决题目的途径。下面摘一些典型例题,分成几个专题,方便大家学习。例1:已知,则x的取值范围是()A1?x?5Bx?1C1,x,5Dx?5分析:根据绝对值的几何意义可知:表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3,只要表示数的点落在1和5之间(包括1和5),那么它到1与5的距离之和都等于4,所以1?x?5,故选A。,x,4,(4,x)(0,x,4)分析:本题单纯用代数方法处理,简直无从下手,注意式中的特征,构造直角三角形,转化为在直线上求一点,′图4图3解:如图3,作AB=4,AC?AB,BD?AB,且AC=1,BD=2,P为AB上一点,22x设AP=,则,问题转化为找出P点的位置,使PC,1,x,PD,4,(4,x)PC+,作C关于AB的对称点C′,连结C′D交AB于P,由?PAC′x1422,??PBD,得,求得x,,所以1,x,4,(4,x),x23例3:已知x,y,z?(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x),1证:构造边长为1的正?ABC,D,E,F为边上三点,z并设BD=x,CE=y,AF=z,如图1DF3x显然有S+S+S?BDE?CEF?ADF<B4EyC3333即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x),4444例4正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k,求证:aB+bC+cA<k2此题有多种证法,仅构造法证法就有下列几种,可见数学的魅力。证明一:由求证的不等式联想到面积关系,由所设条件联想到构造以边长为k的正三角形,如下图所示:PbCMNBcQRaLA由S?LRM+S?MPN+S?NQL<S?PQR即证。证明二:由求证的不等式联想到面积关系,由题设条件式联想到以边长为k的正方形。如下图所示。Bb由图即证。证明三:以上两种证法是联想到面积,那么联想到体积可以吗,不妨构造棱长为k的正方形,则有k3=(a+A)?(b+B)?(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA)显然k3>k(aB+bC+cA)得证。证明四:还可联想函数式,构造以c(或a或b)为变量字母的一次函数式:f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2(0<c<k)此函数式的图象是无端点的线段,且f(0)<0,f(k)<0?f(c)<0得证。例5:试证:对任何,都有,当有仅当时等号成立。观察题目特点,从联想到余弦定理,可以构造三角形,同理,另两个根式也可构造三角形,利用几何图形进行证明。根据题意构造图形(如上图),其中AB=a,BC=c,BD=b,,由余弦定理得:在中,,则。但当A、D、C三点共线时等号成立,此时,,即。,即例6:已知x、y、z为正数,且xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z