排队论模型及应用.doc

排队论模型及应用应用数学系王海军排队论模型及应用一、背景例子顾客在超市排队付款,,则增加投资,有可能发生空闲浪费;,顾客排队时间太长。选择最优收银台数二、随机服务系统顾客??等待服务??接受服务??顾客离开三、M/M/s模型假设(1)顾客到达规律:Possion过程定义1时间段t内到达的顾客数,即定义2时刻t顾客数满足:顾客到达的时间间隔独立同指数分布,即(2)服务时间:指数分布服务时间(3)排队规则:先到先服务四、M/M/(1)建模:时刻t系统内有n个顾客的概率事件包含三种情况:且内到达一人;且内离开一人;且内无人到达或离开。舍掉高阶项,根据全概率公式动态模型:稳定状态:与时间t无关解此方程组得稳定状态解为:令为服务强度,则由知(2)稳态解因而?系统平均队长?排队等待的平均队长?顾客排队逗留时间顾客到达时间间隔,服务时间,顾客排队逗留时间顾客平均逗留时间?,每小时平均有4个病人,医生每小时平均可诊治5个病人。如果要满足99,以上的病人有座位,至少应设多少个座位,如果每小时可诊治6个病人,可减少多少个座位,病人平均等待时间是多少,解:设病人来到服从Possion分布,医生诊断时间服从指数分布,则该系统是M/M/1系统,且为满足99,以上的人有座位,设应设m个座位,则(3)M/M/1系统的最优服务率设进入系统的顾客单位时间带来的损失为,单位时间服务台每服务一位顾客的服务成本为,则单位时间总费用的期望值为由解得最优服务率为由及最优服务率随着进入系统的顾客数和损失费的增加而增加,,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/,每次维修时间服从指数分布,每台故障机器的修理费用为100元/小时,:(1)模型(2)稳态解记,系统稳定的条件:系统中有个顾客的概率排队等待平均队长系统平均队长顾客在队列中平均等待时间顾客在系统中平均逗留时间以s,2为例,设两个服务员的平均服务时间均为,有两种服务方式(A)M/M/2系统(B)两个M/M/1系统设置多个服务台的随机服务系统,仅从等待时间考虑,应该让顾客只排一个队(3)M/M/s系统的最优服务台数设顾客等待单位时间带来的损失为,单位时间每个服务台的服务成本为,:当取最小值时应满足:对于依次计算及当已知满足时即可确定最优值将的表达式代入得例3某商场的顾客按possion流到达收银台,平均每小时到达45人。顾客结算时间服从指数分布,平均结算时间为1分钟。顾客每等待一小时,商场就损失5元的利润,每设置1个收银台成本为10元/小时,试问设置多少个收银台最合理,解:由题意,系统内等待的顾客平均数为?若建设一个收银台,则为M/M/1系统,服务强度最优收银台数满足:即?若设置2个收银台,则为M/M/2系统,其服务强度为系统内等待的顾客平均数为?若设置3个收银台,则为M/M/3系统,、大型超