高中数学竞赛讲座 16不等式.doc

竞赛讲座16-不等式不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大,灵活性强,要求很高的技巧,常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且,不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题,都可能与不等式有关,这就使得不等式的问题(特别是有关不等式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样,没有固定的模式,证法因题而异,灵活多变,技巧性强。但它也有一些基本的常用方法,要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。一、。(1)差值比较法原理A-B>0A>B.【例1】(l)m、n是奇偶性相同的自然数,求证:(am+bm)(an+bn)<2(am+n+bm+n)。(2)证明:··≤。【例2】设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一个排列,令S=a1+a2+…+an,S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1,S1=a1b1+a2b2+…+anbn。求证:S0≤S≤S1。(2)商值比较法原理若>1,且B>0,则A>B。【例3】已知a,b,c>0,求证:a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。【例4】若x,y>0,求证:>。【例5】若a,b,c是△ABC的三边长,求证:a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。【例6】若a,b,c>0,求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1,S△ABC=,a,b,c是△ABC的三边长,令S=,t=。求证:t>S。【例8】已知a3+b3=2,求证:a+b≤2。【例9】证明对任意自然数n,。二、不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式,都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口。【例1】若n∈N,S=++···+,求证:n<S<n+1。【例2】(1)若A、B、C∈[0,π],