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第一章函数、极限、连续
※本章要求
1理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系。
2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在左、右极限间的关系。(▲数三、数四:了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念)
6掌握极限的性质及四则运算法则。(▲数三、数四:了解极限性质、掌握极限四则运算法则)
7掌握极限存在的两个准则,并会利用他们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限。(▲数三、数四:理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法,了解无穷大量的概念及其无穷小量的方法)。
9理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判断函数间断点的类型。
10了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
第1节函数
★基本内容学习
一基本概念和性质
1函数的定义
设有两个变量和,变量的变域为,如果对于中的每一个值,按照一定的法则,变量有一个确定的值与之对应,则称变量为变量的函数,记作:
。
2函数概念的两要素
①定义域:自变量的变化范围②对应关系:给定值,求值的方法。
3函数的三种表示方法
①显式:形如的称作显式,它最直观,也是初等函数一般采用的形式。
②隐式:有时有些关系用显式无法完全表达,这时要用到隐式,形如,如椭圆函数。
③参数式:形如平抛运动的轨迹方程称作参数式。参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题,从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质
①奇偶性:设函数在对称区间上有定义,如果对于恒有
(或),则称为偶函数(或奇函数)。注:偶函数图形关于轴对称,奇函数的图形关于坐标原点对称。
②有界性:设函数在区间上有定义,如果,使得对一切,恒有:,则称在区间上有界;若不存在这样的,:函数有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性:设函数在区间上有定义,若存在一个与无关的正数,使对任一,恒有则称是以为周期的周期函数,把满足上式的最小正数称为函数的周期。
④单调性:设函数在区间上有定义,如果对,恒有:(或)则称在区间上是单调增加(或单调减少)的;如果对于,恒有: (或)则称在区间上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
5其它函数定义
①复合函数:设函数的定义域为,而函数的定义域是值域为,若,则称函数为的复合函数,它的定义域是∣。这里表示空集。
②反函数:设函数的值域为,如果对于中任一值,从关系式中可确定唯一的一个值,则称变量为变量的函数,记为:,其中称为函数的反函数为:。
6初等函数
①常值函数(为常数),
②幂函数,定义域由确定,但不论如何,在内总有定义。
③指数函数(且)
④对数函数( 且)
⑤三角函数如;;,;等
⑥反三角函数;;,;,.
以上六类函数称基本初等函数。
由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。
7分段函数
一个函数在其定义域内,对应于不同的区间段有着不同的表达式,则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式,并不是说它是几个函数。
常见的分段函数:
①符号函数
②取整函数表示不超过的最大整数;,当,其中为整数。
③狄利克莱(Dirichlet)函数
④绝对值函数
★基本题型训练
一典型例题
1判断函数的等价性
,函数与是否相同?为什么?
(1) (2)
(3) ;(4) ;
解:(1)不相同,因为的定义域是,而的定义域是。
(2)不相同,因为两者对应法则不同,当时,。
(3)相同,因为两者定义域、对应法则均相同。
(4)不相同,因为两者定义域不同。
2求函数的定义域
?
解:函数的定义域是指的变化范围,即。故对函数而言,的变化范围为,由函数表达式的“变量无关性”,知:的定义域为。
常见错误:。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深,误认为,由此得到。
3判断函数奇偶性
,哪些是偶函数,哪些是非奇非偶函数?
(1) (2)
解:(1)因为为奇函数,为偶函数,所以为奇函数。
(2) ,故为奇函数
4判断函数的周期性
?对于周期函数,指出其周期。
(1) (2)
解(1) 是周期函数,周期为;
(2) 是周期函数,周期是2