蹦极数学模型求解.doc

蹦极数学模型求解蹦极的数学建模及其龙格-库塔法求解方法信息学院计算机系05级硕士研究生赵也非51051201062商学院情报学05级硕士研究生周自力51050500186统计系05级硕士研究生孙晶51050625004摘要本文通过参照题中给出的数据,对蹦极者在蹦极过程受到重力,拉力,空气阻力等受力分析,依据牛顿第二定律,将这种现实生活中连续状态的非线性系统进行建模,得到一个完整的蹦极数学模型。该模型表现为蹦极者位置x对下落时间t的二阶常微分方程。然后利用Matlab编程,采用龙格-库塔法方法,完成了赛题中所有问题。全文的分析思路如下:首先,求解空气阻力与速度的关系。题中给出了一组空气阻力和速度的实测数据,,进行多项式曲线拟合,发现空气阻力和速度符合二次多项式,求出了二次多项式的系数,验证了该二次多项式具有良好的拟合效果。然后,对蹦极者受力分析,发现这是典型的具有连续状态的非线性系统。建立二维空间坐标模型,,列出蹦极模型的数学表达式,得到蹦极者下落位置x对下落时间t的二阶常微分方程。为简化计算,决定采用计算机对蹦极数学模型进行数值计算和系统仿真。因为MATLAB只能解一阶常微分方程,所以先手工把上面的二阶常微分方程转化成一阶常微分方程,再采用计算机求解。通过对Matlab中不同的龙格-库塔法方法进行分析后,发现ode23方法最适合求解具有连续状态的非线性系统,且精度符合要求。因此,程序(,)中使用ode23方法,对蹦极数学模型进行数值计算和系统仿真。并得出了系统要求的数值解和系统仿真图表。通过极值和折半法,求出在蹦极绳弹性系数k=5时,蹦极者有最大刺激,即在安全的情况下最接近湖面。此情况下,脚踝受到的最大拉力为670磅,,,并给出了系统仿真图。将蹦极系统的理论数值解和仿真数值解进行比对验证,误差分析,发现系统仿真结果符合实际,本数学模型可以客观正确地反映蹦极过程。最后,论述了此模型的优缺点,讨论了模型的改进,列出了相关参考文献和术语。关键字数学建模MATLAB非线性系统常微分方程龙格-=160英尺的蹦极绳(蹦极绳的弹性系数k未知),空气阻力与速度有关,给出下列空气阻力和速度的实测数据。速度:英尺/秒10203040506070809010011027245188135192259336423520627阻力:磅英尺/秒已知当地的重力加速度g=32英尺/秒2,脚踝所受的拉力不能超过800磅,若起跳点离湖面300英尺,不让蹦极者碰到水面。蹦极者身高H=6英尺,质量m=160磅,且蹦极绳的弹性系数是常数。求:1蹦极绳的弹性系数k为多少时,在保证蹦极者安全的前提下(脚踝受拉力不超过800磅),能让蹦极者得到最大刺激(最接近水面,而又不进入水中)。(英尺/秒)3K1下蹦极者脚受到最大的拉力(磅)4K1下蹦极者反弹回来时离起跳点可能达到的最短距离(英尺),根据拟合方法,得出空气阻力和蹦极者下落速度的函数关系。,受到重力,空气阻力,蹦极绳拉力的作用,不考虑其他作用力的影响。,且蹦极绳不会断裂。4(,不考虑高度和翻转等运动。,即蹦极者的速度..x位置x对时间t的二阶微分,即蹦极者的加速度..空气阻力,与速度x有关Fresis(x)绳子的拉力,与蹦极者x所在位置有关b(x),以起跳点下160英尺为坐标原点,坐标原点以下为正,坐标原点以上为负,x为蹦极者在此坐标中的位置。考虑到绳是系在脚踝上,人身高6英尺,x的有效范围应该在[-160英尺,134英尺]以内,才能保证蹦极者在起跳点起跳,不碰到湖面。-1600140图1X坐标系下落过程,在绳子绷紧之前,人向上受到空气阻力,向下受到重力的作用。在绳子绷紧之后,人向上受到空气阻力和绳子的拉力,向下受到重力的作用人的脚踝扣有弹性系数为k的蹦极绳,依据胡克定律,蹦极绳的拉力b(x)和蹦极者位置x的函数关系为:,kx,x,0b(x)=,;,,0,(x)为空气阻力,与速度有关。将在后面的章节依据给出的11组数据找出它