第六章定积分.doc

第六章定积分一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求 . . ,熟练掌握牛顿莱布尼茨公式. . ,牛顿–莱布尼茨公式,定各分的换元法和分部积分法. 重点定积分的概念及定积分的几何意义,牛顿–莱布尼茨公式,定积分的换元法和分部积分法. 难点变上限的定积分,定积分的换元法和分部积分法. (二)内容提要 、直线和数轴所围成的平面图形. (1)定积分的概念设函数在区间上有定义,任取分点,把区间分成个小区间,记为,再在每个小区间上,任取一点,取乘积的和式,(即这个极限值与的分割及点的取法均无关),则称函数在闭区间上可积,并且称此极限值为函数在上的定积分,记做,即,其中称为被积函数, 称为被积表达式, 称为积分变量, 称为积分区间, 与分别称为积分下限与积分上限,符号读做函数从到的定积分. 关于定积分定义的说明: ①定积分是特定和式的极限,、积分上限,而与积分变量采用什么字母无关,例如,一般地有= .②定积分的存在定理:如果在闭区间上连续或只有有限个第一类间断点,则在上可积. (2)定积分的几何意义设在上的定积分为,其积分值等于曲线、直线和所围成的在轴上方部分与下方部分面积的代数和. (1)积分对函数的可加性,即, 可推广到有限项的情况,即. (2)积分对函数的齐次性,即.(3)如果在区间上,则.(4)(积分对区间的可加性)如果,:对于三点的任何其他相对位置,上述性质仍成立,仍有.(5)(积分的比较性质)如果在区间上有,则.(6)(积分的估值性质)设与分别是函数在闭区间上的最大值与最小值,则.(7)(积分中值定理)如果函数在闭区间上连续,则在区间上至少存在一点,使得. (1)变上限的定积分当在上变动时,对应于每一个值,积分就有一个确定的值, 因此是变上限的一个函数,记作,称函数为变上限的定积分. (2)变上限的定积分的导数如果函数在闭区间上连续,则变上限定积分在闭区间上可导,并且它的导数等于被积函数,即. ,任取实数,把极限